Примеры разностных аппроксимаций

1. Примеры разностных аппроксимаций.

Различные способы приближенной замены одномерных дифферен-циальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

h={xi=ih, i=0, 1, 2,…}.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [xi-1, xi+1]. Обозначим

Разностные отношения называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi , т.е. при фиксированном xi и при h0 (тем самым при i) пределом этих отношений является u’(xi). Проводя разложение по фор-муле Тейлора, получим

ux,i – u’(xi) = 0,5hu’’(xi) + O(h2),

ux,i – u’(xi) = -0,5hu’’(xi) + O(h2),

ux,i – u’(xi) = O(h2),

Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппрок-симируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная про-изводная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разно-стная производная

аппроксимирует u’’(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение

Рассмотрим дифференциальное выражение

(1)

с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением

(2)

где a=a(x) – функция, определенная на сетке h. Найдем условия, кото-рым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения

где ui’ = u’(xi), получим

С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’,

т.е.

Отсюда видно, что Lhu–Lu = O(h2), если выполнены условия

(3)

Условия (3) называются достаточными условиями второго поряд-ка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируе-мая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, на-пример, следующие функции:

Заметим, что если положить ai = k(xi), то получим только первый порядок аппроксимации.

В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппрок-симацию оператора Лапласа

(4)

Введем на плоскости (x1, x2) прямоугольную сетку с шагом h1 по направлению x1 и с шагом h2 по направлению x2, т.е. множество точек

h = {(xi1, xj2) | xi1 = ih1, xj2 = jh2; i, j = 0, 1, 2,…},

и обозначим

Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение

(5)

аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. Lhuij – Lu(xi1, xj2) = O(h21) + O(h22). Более того, для функций u(x1, x2), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо раз-ложение

Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x1, x2) в пяти точках сетки, а именно в точках (x1i, x2j), (x1i1, x2j), (x1i, x2 j1). Ука-занное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шабло-нах, содержащих большее число точек.

2. Исследование аппроксимации и сходимости

2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения. Ранее рас-сматривалась краевая задача

(k(x) u’(x))’ – q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l, (1)

– k(0) u’(0) + u(0) = 1, u(l) = 2, (2)

k(x)  c1 > 0,   0,

для которой интегро-интерполяционным методом была построена раз-ностная схема

(3)

(4)

где

(5)

(6)

Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через Lhyi – ле-вую часть уравнения (3), т.е.

Пусть (x) – достаточно гладкая функция и (xi) – ее значение в точке xi сетки

h = {xi = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l} (7)

Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует дифферен-циальный оператор L в точке x=xi, если разность Lhi – Lh(xi) стремит-ся к нулю при h0. В этом случае говорят также, что разностное урав-нение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1).

Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=xi значения i1 = (xi  h), входящие в разностное выражение Lhi. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях

(8)

выполняется соотношение

Если кроме того, докажем, что

di = q(xi) + O(h2), i = f(xi) + O(h2) (9)

то тем самым будет установлено, что оператор Lh аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е.

Lhi – L(xi) = O(h2), i = 1, 2,…, N–1 (10)

Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k-1(x), получим

следовательно,

Аналогично

Отсюда получим

т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что за-мена интегралов (6) значениями qi, fi соответствует приближенному вы-числению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в сере-дине отрезка интегрирования.

2.2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погреш-ность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим lh(0) = –a1x, 0 + 0. Если (x) – произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно

lh(0) = –k(0) ’(0) + (0) + O(h),

т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h. Однако если =u(x) – решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е.

Докажем последнее утверждение. Используя разложение

ux, 0 = (u1 – u0)/h = u’(x1/2) + O(h2), x1/2 = 0,5h,

a1 = k1/2 + O(h2)

получим

Отсюда имеем

Учитывая граничное условие (2), получаем

lhu(0) = 0,5h [– (ku’)’(0) + d0u0 – 0] + O(h2).

Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду

– (ku’)’(0) + d0u0 – 0 = – (ku’)’(0) + q(0)u(0) – f(0) +

+ (d0 – q(0))u0 – (f(0) – 0) = (d0 – q(0))u0 – (f(0) – 0).

Из соотношений

получаем

что и требовалось доказать.

Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения u(x) разностная схема (10) аппроксимирует исход-ную задачу (2) со вторым порядком по h.

При практическом использовании разностной схемы для нахожде-ния ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точ-но. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем за-мены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность O(h2) и выше. Например, в результате применения формулы прямо-угольников получим следующие коэффициенты: ai = k(xi – 0,5h), di = q(xi), i = f(xi).

Применяя формулу трапеций, получим

Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае раз-рывных функций k(x), q(x), f(x).

2.3. Уравнение для погрешности. Решение yi = y(xi) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(xi) = yh(xi). По существу, мы имеем семейство решений {yh(xi)}, зависящее от параметра h. Говорят, что решение yh(x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи, если при h0 погрешность yh(xi) – u(xi), i = 0, 1,…, N, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C(h), т.е. положим

Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m), если

где m>0, M>0 – константы, не зависящие от h.

Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удов-летворяет погрешность zi = yi – u(xi). Поставим yi = zi + u(xi) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения

(11)

(12)

где обозначено

Функция i, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) раз-ностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что i = O(h2) при h0, i=1, 2,…, N–1. Аналогично, величина 1 является по определению погрешностью