Реализация метода непрерывного Вейвлет преобразования для одномерных массивов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МИФИ

Кафедра 17

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ

ТЕМА: “РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА НЕПРЕРЫВНОГО

ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ МАССИВОВ ”

Выполнил студент группы К7-171 Лукаш В.В.

Научный руководитель Башашин М.В.

Москва, 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

3. ПОДХОДЫ К АНАЛИЗУ СИГНАЛОВ СО СЛОЖНЫМИ ЧАСТОТНО- ВРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

3.1 Методы обработки нестационарных сигналов

3.2 Краткий обзор преобразования Фурье

3.3 Основные положения вейвлет-анализа

4. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

4.1 Методы вычисления непрерывного вейвлет преобразования и их сравнение с точки зрения реализации

4.1.1 Во временной области

4.1.2 В частотной области

4.2 Выбор материнского вейвлета

4.3 Система “клиент-сервер” как способ повышения скорости алгоритма

4.3.1 Функции “клиента”

4.3.2 Функции “сервера”

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

7. ПРИЛОЖЕНИЯ

1. ВВЕДЕНИЕ

Любые исследования обычно укладываются в следующую схему:

1. Сбор информации (фиксация среднестатистических данных, прием данных от тех или иных датчиков и т. п.)

2. Анализ полученных данных (выделение характерных особенностей, визуализация, отсеивание аномальных значений, определение периодичностей, частотного спектра и т. д.)

В результате первого шага получается некий массив данных, который будем называть сигналом. В силу многообразия встречающихся в природе сигналов часто приходится сталкиваться с сигналами, имеющими сложные частотно-временные характеристики (простым примером служит электрокардиограмма человека).

Данная работа посвящена изучению и реализации непрерывного вейвлет преобразования для случая дискретного сигнала.

Традиционным подходом к исследованию числовых рядов является преобразование Фурье, в результате которого получается частотный спектр сигнала. Недостатком преобразования Фурье является то, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, в связи с чем иногда невозможно получить исчерпывающей информации о сигнале. В таких случаях для анализа сигнала целесообразно применять вейвлет преобразование (ВП), которое позволяет получить частотно-временную развертку сигнала, дающую существенно больше информации, чем в случае Фурье-анализа.

Возвращаясь к двум ступеням исследований, заметим, что сбор информации и анализ данных часто неудобно проводить совместно, иногда это происходит в разных лабораториях, а, следовательно, возникает необходимость создания распределенной системы “клиент-сервер”.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для разработки модуля анализа основных характеристик электрокардиограммы (ЭКГ) человека в компьютерном кардиологическом комплексе необходимо реализовать алгоритм непрерывного вейвлет преобразования.

Для этого следует:

• изучить теоретические основы непрерывного вейвлет преобразования;

• исследовать способы реализации непрерывного вейвлет преобразования;

• сравнить методы реализации алгоритмов и выбрать способы их ускорения.

При проведении исследований использовать среду Matlab 5.0, разработанный алгоритм реализовать в среде программирования Delphi 5.0.

3. ПОДХОДЫ К АНАЛИЗУ СИГНАЛОВ СО СЛОЖНЫМИ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

3.1 Методы обработки нестационарных сигналов

Вейвлет преобразование стремительно завоевывает популярность в столь разных областях, как телекоммуникации, компьютерная графика, биология, астрофизика и медицина. Благодаря хорошей приспособленности к анализу нестационарных сигналов 1 оно стало мощной альтернативой преобразованию Фурье в ряде медицинских приложений. Так как многие медицинские сигналы нестационарны, методы вейвлет анализа используются для распознавания и обнаружения ключевых диагностических признаков.

Однако, прежде чем ставить перед собой задачу отбора подходящих методов анализа сигнала, необходимо ответить на следующие вопросы:

• Является ли сигнал стационарным ?

• Какие характеристики сигнала исследуются ?

В данной работе изучаются частотно-временные характеристики нестационарных сигналов, что и определяет особый подход к выбору метода.

Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя таким образом частотные компоненты. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, что накладывает ограничения на применимость данного метода к ряду задач (например, в случае изучения динамики изменения частотных параметров сигнала на временном интервале).

Большинство медицинских сигналов имеет сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткоживущих высокочастотных компонент и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонент.

Для анализа таких сигналов нужен метод, способный обеспечить хорошее разрешение и по частоте, и по времени. Первое требуется для локализации низкочастотных составляющих, второе – для разрешения компонент высокой частоты.

Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа. Первый – локальное преобразование Фурье (short-time Fourier transform). Следуя по этому пути, мы работаем с нестационарным сигналом, как со стационарным, предварительно разбив его на сегменты (окна), статистика которых не меняется со временем. Второй подход – вейвлет преобразование. В этом случае нестационарный сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция прототип называется материнским, или анализирующим вейвлетом.

___________________________

1 - то есть таких, у которых характеристики меняются во времени [5b]

3.2 Краткий обзор преобразования Фурье

Классическим методом частотного анализа сигналов является преобразование Фурье, суть которого можно выразить формулой (1)

Результат преобразования Фурье – амплитудно-частотный спектр, по которому можно определить присутствие некоторой частоты в исследуемом сигнале.

В случае, когда не встает вопрос о локализации временного положения частот, метод Фурье дает хорошие результаты. Но при необходимости определить временной интервал присутствия частоты приходится применять другие методы.

Одним из таких методов является является обобщенный метод Фурье (локальное преобразование Фурье). Этот метод состоит из следующих этапов:

1. в исследуемой функции создается “окно” – временной интервал, для которого функция f(x)0, и f(x)=0 для остальных значений;

2. для этого “окна” вычисляется преобразование Фурье

3. “ окно” сдвигается, и для него также вычисляется преобразование Фурье

“Пройдя” таким “окном” вдоль всего сигнала, получается некоторая трехмерная функция, зависящая от положения “окна” и частоты.

Данный подход позволяет определить факт присутствия в сигнале любой частоты, и интервал ее присутствия. Это значительно расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье, но существуют и определенные недостатки. Согласно следствиям принципа неопределенности Гейзенберга в данном случае нельзя утверждать факт наличия частоты 0 в сигнале в момент времени t0 - можно лишь определить, что спектр частот (1,2) присутствует в интервале (t1,t2). Причем разрешение по частоте (по времени) остается постоянным вне зависимости от области частот (времен), в которых производится исследование. Поэтому, если, например, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то увеличить разрешение можно только изменив параметры метода. В качестве метода, не обладающего подобного рода недостатками, был предложен аппарат вейвлет анализа. [2]

3.3 Основные положения вейвлет-анализа

Различают дискретный и непрерывный вейвлет анализ, аппарат которых можно применять как для непрерывных, так и для дискретных сигналов.

Cигнал