МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По курсу: «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»
Выполнил: ст-т гр. ЭБ - 241
Лебедев Н. В.
Проверил: профессор
Г. И. Королев
Рязань 2003 г.
Задание 1. Решите, используя формулу полной вероятности, формулу гипотез и формулу Бернулли.
1. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу проезжающих легковых автомобилей как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовой автомобиль, равна 0.1. Для легковой автомашины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это легковой автомобиль.
Решение.
Определим событие, вероятность которого надо посчитать. А - к бензоколонке подъехал автомобиль.
Тогда гипотезы:
Н1- к бензоколонке подъехала грузовая машина.
Н2 - к бензоколонке подъехал легковой автомобиль
Р(Н1) = 3/(2+3) = 0.6;
Р(Н2) = 2/(2+3) = 0.4
По условию
Р(А/Н1)=0.1
Р(А/Н2)=0.2
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:
P(A)=Р(A|Н1)*Р(Н1)+Р(A|Н2)*Р(Н2)= 0.6 0.1 + 0.4 0.2 = 0.06 + 0.08 = 0.14
P(H2|A)=[ Р(A|Н2)*Р(Н2) ]/P(A) = 0.2 0.4/ 0.14 ~ 0.57
2. Вероятность своевременной оплаты счетов шестью потребителями равна 0.8. Найти вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не более трех потребителей.
Решение.
«Оплатят не более трех потребителей», это значит, что возможны следующие варианты событий:
счета оплатят 0 – потребителей,
1 - потребитель,
2 - потребителя,
3 – потребителя.
По формуле Бернулли найдем вероятность каждого из этих событий.
P_n(k) = C_n(k) pk (1-p)(n-k), где C_n(k) =
n = 6, p = 0.8
1. C_6(0) = = = 1
P_6(0) = C_6(0) 0.80 (1-0.8)(6-0) = 1 1 0.26 = 0.000064
2. C_6(1) = = = 6
P_6(1) = C_6(1) 0.81 (1-0.8)(6-1) = 6 0.8 0.25 = 0.001536
3. C_6(2) = = = = 15
P_6(2) = C_6(2) 0.82 (1-0.8)(6-2) = 15 0.64 0.24 = 0.01536
4. C_6(3) = = = = 20
P_6(3) = C_6(3) 0.83 (1-0.8)(6-3) = 20 0.512 0.23 = 0.08192
P = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2) + P_6(3) = 0.000064 + 0.001536 + 0.01536 + 0.08192 = = 0. 09888 0.099 - вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не более трех потребителей.
Задание 2. Найти среднее квадратическое отклонение вариационного ряда.
X1 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
n1 1 8 23 39 21 6 2
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Xвычисляется по формуле x = , где – дисперсия случайной величины X.
=
- математическое ожидание случайной величины X.
800 1 + 1000 8 + 1200 23 + 1400 39 + 1600 21 + 1800 6 + 2000 2 = 139400
= (800 - 139400) 1 + (1000 - 139400) 8 + (1200 - 139400) 23 + (1400 - -139400) 39 + (1600 - 139400) 21 + (1800 - 139400) 6 + (2000 - 139400) 2 =
= 19209960000 + 153236480000 + 439282520000 + 742716000000 + 398765640000 + + 113602560000 + 37757520000 = 1904570680000
x = 1380062
Задание 3. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.
Для производства двух видов изделий используются три вида сырья, запасы которого ограничены. Величины запасов приведены в матрице С. Нормы расхода сырья каждого вида на каждое из двух изделий приведены в матрице А , где строки соответствуют виду сырья, а столбцы – виду изделия. Прибыль от реализации изделий указана в матрице P.
Составить план производства изделий так, чтобы предприятие получило максимальную прибыль от их реализации.
5 9 7710
А = 9 7 C = 8910 P = ( 10 22 )
3 10 7800
Найдем производственную программу, максимизирующую прибыль L=10х1+22х2.
Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу 5х1+9х2≤7710.
Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу 9х1+7х2 ≤8910.
Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу 3х1+10х2 ≤7800.
Имеем
5х1+9х2 ≤ 7710
9х1+7х2 ≤ 8910
3х1+10х2 ≤ 7800
где по смыслу задачи х1≥0, х2≥0.
Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неизвестных х3, х4, х5 заменим системой линейных алгебраических уравнений
5х1+9х2+х3 = 7710
9х1+7х2+х4 = 8910
3х1+10х2+х5= 7800
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно
х3 – остаток сырья 1-го вида,
х4 – остаток сырья 2-го вида,
х5 – остаток сырья 3-го вида.
Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условию неотрицательности
х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, надо найти то решение, при котором функция L=10х1+22х2 будет иметь наибольшее значение.
Ранг матрицы системы уравнений равен 3.
5 9 1 0 0
А = 9 7 0 1 0
3 10 0 0 1
Следовательно, три переменные (базисные) можно выразить через две (свободные), т. е.
х3 = 7710 - 5х1 - 9х2
х4 = 8910 - 9х1- 7х2
х5= 7800 - 3х1 - 10х2
Функция L = 10х1+22х2 или L - 10х1 - 22х2 = 0 уже выражена через эти же свободные переменные. Получаем следующую таблицу.
Таблица 1.
Базисные переменные Свободные
члены х1 х2 х3 х4 х5
х3
7710
5 9 1 0 0
х4
8910 9 7 0 1 0
х5
7800 3 10 0 0 1
L
0 -10 -22 0 0 0
Находим в индексной строке отрицательные оценки. Выбираем разрешающий элемент.
В результате получаем следующую таблицу.
Таблица 2.
Базисные переменные Свободные
члены х1 х2 х3 х4 х5
х3
7710
5
9 1 0 0
х4
990 1 7/9 0 1/9 0
х5
7800 3 10 0 0 1
L
0 -10 -22 0 0 0
Таблица 3.
Базисные переменные Свободные
члены х1 х2 х3 х4 х5
х3
2760
0
46/9 1 -5/9 0
х1
990 1 7/9 0 1/9 0
х5
4830 0 69/9 0 -1/3 1
L
9900 0 -128/9 0 10/9 0
Таблица 4.
Базисные переменные Свободные
члены х1 х2 х3 х4 х5
х2
540
0 1 9/46
-5/46 0
х1
570 1 0 -7/46 9/46 0
х5
690 0 0 -3/2 1/2 1
L
17580 0 0 128/46 -10/23 0
Таблица 5.
Базисные переменные Свободные
члены х1 х2 х3 х4 х5
х2
690
0 1 -3/23 0 10/46
х1
300 1 0 10/23 0 -81/46
х4
1380 0 0 -3 1 2
L
18780 0 0 34/23 0 20/23
Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, то это значит, что мы получили оптимальную производственная программу:
х1 = 300, х2 = 690, х3 = 0, х4 = 1380, х5 = 0
Остатки ресурсов:
Первого вида – х3=0;
Второго вида – х4=1380;
Третьего вида – х5=0
Максимальная прибыль Lmax=18780.