←предыдущая следующая→
1 2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 2
1. Условие сходимости положительного ряда 3
2. Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле 5
3. Ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии 8
4. Теоремы сравнения рядов 10
5. Признак Даламбера 13
6. Признак Раабе 16
7. Схема Куммера 24
8. Вывод признаков сравнения из схемы Куммера 26
9. Признак Бертрана 28
Заключение 31
Список литературы 32
ВВЕДЕНИЕ
Исследования Исаака Ньютона в области математики дали толчок к исследованиям рядов. В частности, открытие им бинома Ньютона. Он дал формулу без доказательства в 1676 году в первом своем письме к Ольденбургу, секретарю Лондонского королевского общества. Формула бинома для натуральных степеней была известна китайскими математиками еще в XIV веке, но Ньютон первым догадался применить ее для дробных и отрицательных степеней, в результате чего у него получились бесконечные ряды. Со времен Ньютона бесконечные ряды активно исследовались, но вплоть до XVIII века понятие сходимости ряда еще не было точно установлено. Например, Эйлер в статье «О расходящихся рядах» (1754-1755 гг.) называет ряд «сходящимся», если его члены стремятся к нулю, и «расходящимся» в противном случае, при этом он допускал, что такой ряд не всегда сходится к своей «сумме», которую он вычислял через преобразование ряда к функции. Некоторые видные математики того времени недооценивали значение расходящихся рядов. Так Даламбер в 1768 году высказал сомнение в отношении употребления расходящихся рядов. Это кончилось тем, что в течение первой половины XIX века расходящиеся ряды не употреблялись, главным образом из-за критических трудов Абеля и Коши, пока математика не развилась до того уровня, чтобы их принять.
Цели данной курсовой работы состоят в том, чтобы научится определять, является ли ряд положительным, определять его сходимость или расходимость, в некоторых случаях научиться находить его сумму.
А задачи курсовой работы состоят в изучении определения положительного ряда, рассмотрении рядов Дирихле, рассмотрении схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда, изучении признаков Даламбера, Раабе и Бертрана.
1. УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЯДА
Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны.
Теорема 1. Последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает.
Доказательство. Пусть дан положительный числовой ряд
, где . (А)
Рассматривается n-ная частичная сумма
, тогда
,
это значит, что последовательность частичных сумм монотонно возрастает.
Рассматривается основная в теории положительных рядов теорема.
Теорема 2. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно чтобы последовательность частичных сумм была ограничена сверху.
Доказательство. Пусть дан положительный ряд
, где . (А)
1) Необходимость. Пусть ряд (А) сходится, тогда .
Значит, данная последовательность частичных сумм ограничена сверху.
2) Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм Sn ограничена сверху, значит, на основании теоремы Вейерштрасса, такая последовательность имеет конечный предел. Отсюда ряд (А) сходится.
Все признаки сходимости (и расходимости), в конечном счете, основаны на этой простой теореме. Но непосредственное ее применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда. В качестве примера применения данной теоремы могут служить ряды Дирихле.
2. ОБОБЩЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ИЛИ РЯДЫ ДИРИХЛЕ
Определение 2. Числовой ряд называется гармоническим рядом, а числовые ряды , где , называются обобщенными гармоническими или рядами Дирихле.
Замечание 1. Название гармонического ряда связано с тем, что каждый его член, начиная со второго, является средним гармоническим для двух соседних. (Число c называется средним гармоническим чисел a и b, если ).
1) Рассматривается гармонический ряд .
Имеет место очевидное неравенство:
. (1)
Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда разбить на группы по 2, 4, 8,…, 2k-1,… членов в каждой
то каждая из этих сумм в отдельности будет больше ; в этом легко убедиться, полагая в (1) поочередно n = 2, 4, 8, …, 2k-1, … Обозначили n-ную частичную сумму гармонического ряда через Hn; тогда, очевидно,
.
Отсюда следует, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет бесконечную сумму.
2) Рассматривается ряд Дирихле .
Он содержит в себе, как частный случай (при s=1), предыдущий ряд.
Так как при s1; положили для удобства , где .
Аналогично (1), получается неравенство:
. (2)
Выделив, как и выше, последовательные группы членов:
с помощью (2) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов геометрической прогрессии
.
В таком случае ясно, что какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда ни взять, она будет меньше постоянного числа
следовательно ряд сходится.
Примеры. Исследовать на сходимость ряды:
1) .
Этот ряд является рядом Дирихле с s>1, а, значит, ряд сходится.
2) .
Этот ряд также является рядом Дирихле с s1, поэтому ряд расходится.
4) .
Это опять же геометрический ряд, его знаменатель равен , а, значит, ряд сходится. Ищется его сумма:
.
4. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ РЯДОВ
Пусть даны два положительных ряда
, где , (А)
, где . (B)
Теорема 3. Признак сходимости положительных рядов. Если для , то из сходимости ряда (А) следует сходимость ряда (В), а из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (А).
Доказательство. 1) Пусть ряд (А) сходится, доказывается, что сходится и ряд (В).
Обозначили последовательность частичных сумм ряда (А), а – ряда (В). Так как ряд (В) сходится, то . Из условия следует, что , отсюда следует, что ограничено сверху, а, значит, подпоследовательность частичных сумм имеет конечный предел, т. е. ряд (В) сходится.
2) Пусть ряд (В) расходится, доказывается, что расходится и ряд (А).
Из расходимости ряда (В) следует, что монотонно возрастающая последовательность частичных сумм , т. е. . И так как , то из предельного перехода в неравенстве получается, что , т. е. ряд (А) так же расходится.
Замечание 2. Если условия выполняется, начиная с некоторого номера, то признак сходимости остается в силе.
Замечание 3. Теорема 3 носит название «признак сравнения I».
Теорема 4. Если, хотя бы начиная с некоторого места (например, для ), выполняется неравенство:
, где , (4)
то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).
Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех значений В таком случае имеет место:
Перемножив почленно эти неравенства, получится:
Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд , полученный умножением его членов на постоянный множитель , а тогда, по признаку сравнения I, сходится и ряд (А), и т. д.
Примеры. Исследовать на сходимость ряды:
5) .
Данный ряд сравнивается с рядом , который сходится, как геометрический ряд со знаменателем меньше 1. Поскольку , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.
6) .
Данный ряд сравнивается с гармоническим рядом , который расходится. Так как , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.
7) .
Его сравнивали с рядом , который, очевидно, расходится. Обозначив , составили для них выражения:
Поскольку и ряд расходится, то, по теореме 4, расходится и данный ряд.
5. ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА
Пусть дан положительный ряд:
, где . (А)
Теорема 5. Если существует предел:
, (5)
то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при ряд расходится.
Доказательство. Из равенства (5) на основании определения предела числовой последовательности следует, что для любого сколь угодно малого существует , такой что для выполняется неравенство:
. (6)
1) Пусть , тогда . Обозначили , тогда, начиная с номера , из неравенства (6) следует, что выполняются следующие неравенства:
(7)
Перемножили неравенства (7):
. (8)
Рассматриваются следующие числовые ряды:
, (9)
. (10)
Ряд (10) сходится как ряд, состоящий из элементов геометрической прогрессии, со знаменателем . Тогда из неравенства (8) следует, что, по признаку сравнения I, сходится и ряд (9).
Ряд (9) является N-ным остатком ряда (А), значит, сходится и ряд (А).
2)Пусть , тогда ряд (А) расходится, так
←предыдущая следующая→
1 2