←предыдущая следующая→
1 2
Министерство образования РФ
Российский Государственный Гуманитарный Университет
Текстовые логические задачи
Киров, 2002
Текстовой логической задачей можно назвать такую задачу, для решения которой применяется логика.
Разнообразие логических задач очень велико. Текстовые логические задачи можно условно разделить на следующие виды:
1) все высказывания истинны;
2) не все высказывания истинны;
3) задачи о правдолюбцах и лжецах.
Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.
Наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:
• средствами алгебры логики;
• табличный;
• с помощью рассуждений.
Для решения логических задач средствами алгебры логики обычно используется следующая схема решения:
1. изучается условие задачи;
2. вводится система обозначений для логических высказываний;
3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
4. определяются значения истинности этой логической формулы;
5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
При решении логических задач табличным способом, условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.
Таблицы хорошо применять, когда устанавливается соответствие между двумя множествами (можно и между тремя множествами), когда количество элементов во множествах одинаково и неодинаково. Перед составлением таблиц следует отработать правила их заполнения.
Третьим способом (т.е. при помощи рассуждений) обычно решают несложные логические задачи. В методе рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Задача 1. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и насколько секунд?
Решение. Составим схему:
Ответ: раньше на 1 с. пришла Лена.
Задача 2. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.
— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
Решение. Введем обозначения для логических высказываний:
Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.
Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.
Зафиксируем высказывания каждого из друзей:
Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание:
Высказывание истинно только при Ш=И, А=Л, Х=Л.
Ответ: победителем этапа гонок стал Шумахер.
Задача 3.
Барсук позвал к себе гостей:
Медведя, рысь и белку.
И подарили барсуку
Подсвечник и тарелку.
Когда же он позвал к себе
Рысь, белку, мышку, волка,
То он в подарок получил
Подсвечник и иголку.
Им были вновь приглашены
Волк, мышка и овечка.
И получил в подарок он
Иголку и колечко.
Он снова пригласил овцу,
Медведя, волка, белку.
И подарили барсуку
Колечко и тарелку.
Нам срочно нужен ваш совет.
(На миг дела отбросьте.)
Хотим понять, какой предмет
Каким дарился гостем.
И кто из шестерых гостей
Явился без подарка?
Не можем мы сообразить,
Сидим... Мудрим... Запарка...
Решение. Составим таблицу 6 x 4 и из первого четверостишия делаем выводы:
1) медведь, рысь, белка не дарили иголку и колечко;
2) мышка, волк, овца не дарили подсвечник и тарелку.
Получаем таблицу:
Медведь Рысь Белка Мышка Волк Овца
Подсвечник - + - - - -
Иголка - - - + - -
Тарелка + - - - - -
Кольцо - - - - - +
Ответ: виден из таблицы.
Задача 4. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.
Известно, что:
1. Смит самый высокий;
2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки буквами Л и И, в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.
Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.
Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним "Л":
скрипка флейта альт кларнет гобой труба
Браун Л Л И И Л Л
Смит Л Л Л
Вессон Л Л
Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон.
Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон" можно заполнить нулями:
скрипка флейта альт кларнет гобой труба
Браун Л Л И И Л Л
Смит Л Л Л Л
Вессон И Л Л Л Л И
Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит.
скрипка флейта альт кларнет гобой труба
Браун Л Л И И Л Л
Смит Л И Л Л И Л
Вессон И Л Л Л Л И
Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит — на флейте и гобое, Вессон — на скрипке и трубе.
Задача 5. Владимир, Игорь и Сергей преподают математику, физику и литературу, а живут они в Рязани, Туле и Ярославле. Известно также, что Владимир живет не в Рязани, Игорь живет не в Туле, рязанец – не физик, Игорь – не математик, туляк преподает литературу. Кто где живет и что преподает?
Решение. Составим таблицу 3 x 3, выбрав основными параметрами имена и города. Тогда, учитывая, что рязанец – не физик, а туляк – литератор, получаем, что рязанец – математик, а житель Ярославля – физик.
Рязань Тула Ярославль
Владимир - м + л - Ф
Игорь - м - л + Ф
Сергей + м - л - Ф
Ответ: виден из таблицы.
Задача 6. В каждой клетке 99x99 сидит жук. В некоторый момент времени каждый жук переполз на соседнюю (по горизонтали или по вертикали) клетку. Верно ли, что после этого на доске останется хотя бы одна пустая клетка?
Решение. Раскрасим клетки доски в "шахматном" порядке. Тогда каждый жук должен переползти в клетку другого цвета, но белых и черных клеток на доске разное количество, следовательно, хотя бы одна клетка доски должна остаться пустой.
Ответ: верно.
Задача 7. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения:
1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский.
Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.
Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.
Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно,
←предыдущая следующая→
1 2