←предыдущая следующая→
1 2 3 4
Постановка задачи.
По длинной квадратного сечения трубе течет горячая жидкость. Труба наполовину погружена в ледяную ванну, так, что температура нижней половины поверхности трубы равна 00 С. Верхняя плоскость трубы имеет постоянную температуру 100 0 С. На участке между ледяной ванной и верхней плоскостью температура наружной поверхности трубы изменяется линейно по высоте от 0 0 С до 100 0 С. Жидкость внутри трубы имеет температуру 200 0 С.
Рис. 3.
Распределение температуры в теле трубы удовлетворяет уравнению
С погрешностью не более 0,5 0 С вычислить распределение температуры в теле трубы.
Дискретизация Метод конечных разностей +
задачи Метод конечных элементов
Решение Метод Гаусса
системы Метод Зейделя +
линейных Метод последовательной верхней релаксации
уравнений Метод релаксация по строкам
Вывод Библиотечная графическая подпрограмма
результатов Алфавитно-цифровой, мозаичный +
Математическая формулировка задачи.
Решить диф.уравнение в частных производных:
с задаными началиными условиями на границах области дифференцирования.
При решении уравнения приблизительно заменю производные второго порядка конечно-разностными отношениями:
в результате чего диф.уравнение преобразуется в 5-ти диаганальную систему алгеброических уравнений n-го порядка.
Систему алгеброических уравнений буду решать методом Зейделя.
Погрешность решения задачи найду по формуле:
где, и -решения,полученные для одной и той же точки с разными шагами.
Функциональная схема.
Метод конечных разностей.
Описание метода.
Так назван метод решения краевых задач, основанный на приближенной замене производных, входящих в дифференциальные уравнения и краевые условия, нонечно-разностными отношениями. Эта замена позволяет свести краевую задачу к задаче решения системы алгебраических уравнений.
Конечные разности и производные.Пусть некоторая функция y(x) задана на отрезке [a,b]. Будем считать, что она непрерывна и многократно дифференцируема на этом отрезке. Разделим отрезок на равные части длиною h и обозначим точки деления x0,x1,...,xi,...,xn.Значения функции в этих точках обозначим соответственно y0,y1,...,yi,...,yn.Первой центральной разностью в i-й точке (i=1,2,...,n-1) называют разность:
С помощью этой разности можно приближенно вычислить значение первой производной у` в i-й точке.
Разложим функцию y(x) в степенной ряд. приняв за центр разложения точку xi и ограничившись четырьмя членами:
где
Аналогично найдем значение ф-ции и в точке ,отстоящей от центра разложения на шаг (-h):
где .
Подставляя получим:
Таким образом,производная y` приближонно заменяется конечно-разностным отношением с ошибкой порядка h*h:
Второй центральной разностью ф-ции y(x) в i-й точке называют величину:
С помощью этой разности можно приближонно вычислить значение второй производной y`` в i-й точке.Используем теперь 5 членов разложения в ряд Тейлора:
Таким образом,вторая производная y`` с ошибкой порядка h*h может быть приближонно заменена конечно-разностным отношением:
При определении разностей в i -и точке использовались значения функции в точках, расположенных симметрично относительно xi . Поэтому эти разности называются центральными.
Существуют также левые и правые разности, использующие точки, расположенные соответственно левее и правее точки xi. С помощью этих разностей можно также приближенно вычислять значения производных, но погрешность при этом будет больше -порядка h.
Разностные системы уравнений составляются в следующем порядке.
1. Исходное дифференциальное уравнение преобразуют к такой форме, чтобы затем получить из него наиболее простую разностную систему уравнений. При этом учитывают, что коэффициенты при производных войдут в разностную схему одновременно в несколько ее членов и затем будут распространены на всю систему уравнений. Поэтому желательно иметь единичные коэффициенты при производных в исходном уравнении.
2. На интервале интегрирования исходного уравнения устанавливают равномерную сетку с шагом h и записывают разностную схему, приближенно заменяя производные соответствующими центральными конечно-разностными отношениями.
3.Применяя разностную схему для узлов сетки записывают разностные уравнения. При этом можно получить уравнения содержащие так называемые внеконтурные неизвестные, то есть неизвестные в точках, лежащих за пределами установленной сетки.
4.В разностной форме записывают краевые условия и составляют полную систему разностных уравнений.
Оценка погрешности решения краевой задачи
Решение разностной системы уравнений дает приближенное решение краевой задачи. Поэтому возникает вопрос о точности этого приближенного решения.
Для линейных краевых задач доказана теорема о том, что порядок точности решения краевой задачи не ниже порядка точности аппроксимации производных конечно-разностными отношениями. Оценку погрешности производят приемом Рунге. Краевую задачу решают дважды: с шагом сетки h и с шагом сетки H=kh, погрешность решения с малым шагом h оценивают по формуле:
где y(h) и y(H) - решения, полученные для одной и той же точки -xi отрезка интегрирования с разными шагами. Относительную погрешность E оценивают по формуле:
Если при составлении разностной системы уравнений используются левые или правые разности, то погрешность решения будет выше, порядка 0(h), и для ее оценки в формулах следует заменить k*k на k .
Применение метода конечных разностей для решения уравнений в частных проиэводных
Для применения разностного метода в области изменения независимых переменных вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностями значений функции в узлах сетки и получают таким образом алгебраическуго систему уравнений. Решая эту систему, находят приближенное решение задачи в узлах сетки.
Блок схема.
Подпрограмма МКР.
c------------------------------------------------------------------
c ПОДПРОГРАММА СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
c МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
c
c real H-шаг по оси X
c real K-шаг по оси Y
c real N-количество уравнений(примерное число,желательно N=M*P)
c real y(6,N)-выходной массив уравнений,содержащий следующие поля:
c y(1,N)-номер точки по оси X
c y(2,N)-номер точки по оси Y
c y(3,N)-коэфициен уравнения для Q(y(1,N)-1,y(2,N))
c y(3,N)=h^2/(2*(h^2+k^2))
c y(4,N)-коэфициен уравнения для Q(y(1,N),y(2,N)-1)
c y(4,N)=k^2/(2*(h^2+k^2))
c y(5,N)-коэфициен уравнения для
←предыдущая следующая→
1 2 3 4
|
|