Теория Матриц и Определителей

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей.

1996 год.

Оглавление.

ОГЛАВЛЕНИЕ. 2

1. МАТРИЦЫ. 3

1.1 ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. 3

1.2 ОНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. 3

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 5

2.1 ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ. 5

2.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. 5

2.3 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. 6

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 8

3.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 8

3.2 УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 8

3.3 РЕШЕНИЕ СИТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТЕДОМ КРАМЕРА. 8

3.4 РЕШЕНИЕ СИТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТЕДОМ ГАУССА. 9

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. 9

4.1 ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. 9

4.2 ВЫЧЕСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. 9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 9

1. Матрицы.

1.1 Понятие матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком.

1.2 Основные операции над матрицами.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Прежде всего договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( Сij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n ) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) ( 1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем :

+ =

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно :

1) переместительным свойством : A + B = B + A

2) сочетательным свойством : (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) на вещественное число называется матрица C = (Cij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n ), элементы которой равны

Cij = Aij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ). (1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами :

1) распределительным свойством относительно суммы матриц:

(A + B) = A + B

2) сочетательным свойством относительно числового множителя:

( ) A = ( A)

3) распределительным свойством относительно суммы чисел :

( + ) A = A + A.

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись : C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ), имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B = (Bij) ( i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p ), имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица C = (Сij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p ), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij, определяемые формулой

Cij = ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p ) (1.4)

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно : Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

=

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

1) сочетательное свойство : (AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство :

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символом E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n-ого порядка и обозначается символом O. Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда

AE = EA = A, AO = OA = O.

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство : A + O = O + A = A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

2. Определители.

2.1 Понятие определителя.

Прежде всего необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта.

2.2 Вычисление определителей.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах, Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число ad—bc, обозначаемое так: . Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях . Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем следующей матрицы является такое выражение : a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.. Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32 , a12a21a33. Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n-ого порядка,