Теория флюксий

Сургутский государственный педагогический институт

Кафедра высшей математики

РЕФЕРАТ

По дисциплине:

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

На тему:

ТЕОРИЯ ФЛЮКСИЙ

Выполнил:

Студентка гр. 751,

Митющенко Е.В.

Проверил:

преподаватель

Ефремова Т.Н.

Сургут, 2000.

Оглавление

Введение 2

§ 1. Общие положения теории флюксий 3

§ 2. Решение проблем теории флюксий 6

Решение первой проблемы 7

Решение второй проблемы 7

Частное решение. 7

Подготовление к решению. 9

Классификация уравнений в рамках проблемы и их решение 12

Решение первого случая. 12

Решение второго случая. 12

Заключение 16

Литература: 17

Введение

К последней трети 17 века относится открытие дифференциального и ин-тегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публика-ции приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрну-тое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682-86. В отношении же времени фактического получения основных резуль-татов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665-66.

"Анализ с помощью уравнений" И. Ньютона в 1669 был передан им в ру-кописи английским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широ-кую известность среди английских математиков. "Метод флюксий" - сочине-ние, в котором И. Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей теории, - был написан в 1670-71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673.

И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (так называемая формула Ньютона - Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм.

Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия "флюенты" (переменной величины) и её "флюксий" (скорости её изменения).

§ 1. Общие положения теории флюксий

Основные задачи теории Ньютон формулировал в терминах механики:

1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; «Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каж-дый момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время»

2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. «Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути»

Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциаль-ных уравнений) Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флю-ент по заданным соотношениям между флюксиями, то есть сразу общую зада-чу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения перво-образной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференци-ального уравнения

dy/dx = f(x).

Такая точка зрения была вполне естественна для Ньютона как создателя математического естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются диффе-ренциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравне-ниями процессов требует их интегрирования. Для Лейбница в центре внима-ния находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисле-ния являлись дифференциалы - бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие "момента", стремился в более поздних работах от него освободиться).

С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался пе-риод интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интеграль-ным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геомет-рическими приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме само-го Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь и другие. Здесь созда-ётся современный стиль математической работы, при котором полученные ре-зультаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных.

Основные идеи метода флюксий сложились у Н. под влиянием трудов П. Ферма, Дж. Валлиса и его учителя И. Барроу в 1665-66. К этому времени отно-сится открытие Ньютоном взаимно обратного характера операций дифферен-цирования и интегрирования.

В понятиях и терминологии метода флюксий с полной отчётливостью от-разилась глубокая связь математических и механических исследований Нью-тона. Понятие непрерывной математической величины Ньютон вводит как аб-стракцию от различных видов непрерывного механического движения. Линии производятся движением точек, поверхности - движением линий, тела - по-верхностей, углы - вращением сторон и т.д. Переменные величины Ньютон на-звал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo - теку). Общим аргумен-том текущих величин - флюент - является у Ньютона "абсолютное время", к которому отнесены прочие, зависимые переменные. Скорости изменения флюент Ньютон назвал флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент - "моментами" (у Лейбница они называ-лись дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого ин-теграла). И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) в виде

и для бесконечно малого приращения o

Время Ньютон понимал как общий аргумент, к которому отнесены все переменные величины. Систему величин х, у, z,..., одновременно изменяющих-ся непрерывно в зависимости от времени, он называл флюентами (лат. fluens – текущий, от fluo – теку), скорости, с которыми изменяются флюенты, – флюк-сиями (лат. fluxio – истечение): , , . Т. о., флюксии являются производны-ми флюент по времени. Бесконечно малые изменения флюент Ньютон назвал моментами (понятие момента в Ф. и. соответствует дифференциалу), момент независимого переменного он обозначил знаком о, момент флюенты х – зна-ком xo.

Представление о существе операции отыскания флюксий, особенностях символики и о ходе рассуждений Ньютона можно получить из следующих примеров:

Пример 1.

«Если соотношение между текущими величинами x и y выражается уравне-нием

f(x,y) = x3 + ax2 + axy  y3 = 0,

то сперва расположи члены по x, а затем по y и помножь их, как указано ни-же( Звездочкой Ньютон обозначает члены, которые можно отбросить, но кото-рые потребуются в дальнейшем. ).

Сумма произведений есть

и это уравнение показывает, какое соотношение существует между флюк-сиями и . (У Ньютона нет других формул, кроме

(xn)’= nxn-1.

Нет у него формул производной произведения, дроби и сложной функции. (В "Математических началах натуральной философии", впрочем, дается формула для момента произведения.) Что производная суммы равняется сумме производ-ных слагаемых, представляется ему совершенно очевидным. Основное правило Ньютона это не что иное, как правило определения производной полинома f(x, y) по t, когда x, y суть функции от t (t у него время). Мы будем писать, если

f(x,y) = x3 + ax2 + axy  y3 = 0,

что ,

где

Ньютон предлагают находить эти , следующим образом: члены с x3, x2, x, x0 умножаются на 3xx’/x, 2xx’/x, xx’/x, 0/x, а члены с y2, y, y0 на 2yy’/y, yy’/y, 0/y)»

§ 2. Решение проблем теории флюксий

В "Методе флюксий..." (1670-1671) Ньютон формулирует две основные взаимно-обратные задачи анализа:

1) определение скорости движения в данный момент времени по известному пути, или определение соотношения между флюк-сиями по данному соотношению между флюентами (Современная формулировка: какому дифференциальному уравнению удовле-творяют функции (независимого аргумента), связанные некоторым функциональным уравнением? Или: как дифференцировать неявно заданную функцию?),

2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости движения, или определение соотношения между флюен-тами по данному соотношению между флюксиями (задача интег-рирования дифференциального уравнения и, в частности, отыска-ния первообразных, найти общее (или хотя бы частное) решение дифференциального уравнения).

Решение первой проблемы

Решение первой проблемы Ньютон предлагает в следующем виде:

«Расположи уравнение, которое выражает данное соотношение, по степе-ням какой-либо из входящих в него текущих величин (например x) и члены его помножь на какую-либо арифметическую прогрессию, а затем на . Это дей-ствие произведи отдельно