Свойства определителей.
1. Определитель не изменяется, если его строчку заменить столбцом и наоборот.
2. При перестановки дух строк и ли двух столбцов определитель меняет знак.
3. Если определитель имеет две одинаковые строки ( столбца ) то он равен 0.
4. Обшей множитель какой либо строки ( столбца ) можно вынести за знак определителя.
Следствие из свойств 3 и 4 – что если все элементы некоторой строки ( столбца ) пропорциональны соответствующим элементам параллельной строки ( столбца ), то определитель равен 0.
5. Если элемент какой либо строки ( столбца ) определителя есть сумма слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей.
6. определитель не изменяется если к элементам параллельной строки ( столбца ) прибавить соответствующие элементы параллельной строки ( столбца ) умноженное та любое число.
Минором некоторого элемента определителя -ного порядка называется определитель - его порядка полученного из исходного путем вычеркивания строки и столбца на пресечении которых находится выбранный элемент
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый с знаком [+] если сумма число четное, со знаком [-], если сумма нечетное число.
7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строчи ( строки ) на соответствующие им алгебраические дополнения.
8. Сумма произведений элемента какого либо столбца ( строки ) определителя алгебраическое дополнение соответствующих параллельного столбца ( строки ) равна 0.
Матрицы и действия над ними.
Матрицей - прямоугольные таблицы, состоящие из строк и столбцов одинаковой длины.
Две матрицы A и B называются равными, если равны их соответствующие элементы.
Матрица содержащее одинаковое количество строк и столбцов называется квадратной.
Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны, то она называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1, то она называется единичной.
Матрица все элементы которой равны 0 называется нулевой.
Матрица содержащая одну строчку или один столбец, называется векторной или вектор-строка или вектор-столбец.
Матрицы полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется транспонированной к данной.
Действия над матрицами.
Сложение.
Суммой двух матриц будет матрица такая что каждый ее элемент будет равен сумме соответствующих элементов матриц и . ( Аналогично определяется и разность матриц. )
Умножение на число
Произведение матрицы на число называется матрицей , такая что ее каждый ее элемент умножен на число .
Произведение матриц.
Операция умножения двух матриц вводится только для случаев, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Элемент -ой строки и -го столбца матрицы произведением с равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующее элементы -го столбца матрицы В
Обратная матрица называется обратной матрицы , если выполняется условие:
Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0.
Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Элементарные преобразования матрицы
Перестановка двух параллельных рядов матрицы.
Умножения всех элементов ряда матрицы на число отличное от 0.
Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.
Решение систем методом Крамара
Если , то система линейных уравнений не вырожденная и имеет единственное решение.
Решение систем уравнений матричным способом.
Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить совместна она или нет.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместная, если она не имеет ни одного решения.
Две системы называются эквивалентными ( равносильными ), если они имеют одно и тоже решение.
Эквивалентная система получается путем элементарных преобразований системы, выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны 0 и имеет нулевое решение.
1. План решения систем линейных уравнений матричным способом.
2. Дана система линейных уравнений.
3. Записываем систему в матричном виде.
4. Выписываем матрицы А, В, Х.
5. Решаем систему в виде .
6. Вычисляем определитель матрицы А ( ).
7. Если , то матрица невырожденная, и имеет решение.
8. Ищем обратную матрицу.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Метод Гуса состоит в подследственном исключении неизвестных.
Процесс решения состоит из двух этапов:
I. На первом этапе система приводится к ступенчатому в частности, треугольному виду.
II. На втором этапе идет последовательное определение неизвестных.