Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Приднестровский государственный университет

им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Тождественные преобразования

показательных и логарифмических

выражений»

Работу выполнила:

студентка _______ группы

физико-математического ф-та

_________________________

Работу проверила:

_________________________

Тирасполь, 2003г.

Содержание:

Введение……………………………………………………………………2

Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа……………………………………..4

§1. Формирование навыков применения конкретных видов преобра-зований…………………………………………………………………………….4

§2. Особенности организации системы знаний при изучении тожде-ственных преобразований .…….………………………….………..………….5

§3. Программа по математике ……………………………………….11

Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений……………………………...…………………13

§1. Обобщение понятия степени……………………………………..13

§2. Показательная функция…………………………………………..15

§3. Логарифмическая функция……………………………………….16

Глава 3. Тождественные преобразования показательных и логарифми-ческих выражений на практике..........................................................................19

Заключение………………………………………………………………..24

Список использованной литературы…………………………………….25

Введение

В данной курсовой работе будет рассмотрено тождественные преобра-зования показательной и логарифмической функции, рассмотрена методика преподавания их в школьном курсе алгебры и начала анализа.

Первая глава данной работы описывает методику преподавания тожде-ственных преобразований в школьном курсе математики, так же включает программу по математике в курсе «Алгебры и начала анализа» с изучением показательной и логарифмической функции.

Вторая глава рассматривает непосредственно саму показательную и ло-гарифмическую функции, их основные свойства, используемые при тождест-венных преобразованиях.

Третья глава – решение примеров и задач с использованием тождест-венных преобразований показательной и логарифмической функции.

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Про-стейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических опера-ций, производятся уже в начальной школе и в IV–V классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с вы-делением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного пре-образования, равносильного преобразования, логического следования.

Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать пре-образования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением области определения аналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в бы-строте и безошибочности выполнения преобразований.

Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобра-зований представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому – статистические данные органов народного образования, в которых ежегод-но констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преоб-разований, допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заве-дений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и тождественных пре-образований в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.

Глава 1.

Тождественные преобразования и методика преподавания

в школьном курсе алгебры и начала анализа.

§1. Формирование навыков применения

конкретных видов преобразований.

Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она ис-пользуется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразо-ваниях, учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умноже-ния. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возве-дения в степень, с различными классами элементарных функций – показа-тельных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного преоб-разования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преобразования – это преобразования выражений, и равно-сильные – преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразова-ния. Соответствующий предикат при этом считается неизменным.

Что касается организации целостной системы преобразований (син-тез), то основная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппа-рата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных за-даний.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основных чертах уже сформированная, продолжает постепенно совершенст-воваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований, однако они только обогащают ее, расширяют ее возможности, но не меняют ее структуру. Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.

§2. Особенности организации системы заданий

при изучении тождественных преобразований.

Основной принцип организации любой системы заданий – предъявле-ние их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учени-ками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных систем заданий в ме-тодике математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упраж-нений характеризуется соединением в последовательности упражнений не-скольких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отноше-нию к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг кото-рого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тож-дество применяется для проведения вычислений на различных числовых об-ластях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются свя-занные с ним обороты речи.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объеди-ненных одной темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тож-дество с различными приложениями. Эта группа не образует композицион-ного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе – этапе синтеза циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы заданий, образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исклю-чаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения задания. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу чего повыша-ется роль действий по распознаванию применимости того или иного тожде-ства.

Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых, соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционально-го материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и