←предыдущая следующая→
1 2 3
Уральский социально-экономический институт
Академии труда и социальных отношений
Кафедра высшей математики и информатики
Контрольная работа №4
по математике
№ зачетной книжки: 020771
№ варианта: 71
Форма обучения: заочная
Специальность: Менеджмент организации
Курс: 2
Группа: МЗ-202
Выполнила: Иванова Лилия Анатольевна
Номера задач по варианту 1 33
Зачтено
Челябинск
2004
Задача 1
Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А1 и А2, для производства которых используется сырье трех видов. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: b1, b2, b3 кг. На изготовление единицы изделия А1 требуется затратить сырья каждого вида а1I, а2I, а3I кг, соответственно, а для единицы изделия А2 - а12, а22, а32 кг. Прибыль от реализации единицы изделия А1 составляет с1 д. ед., для единицы изделия A2 - с2 д. ед.
Требуется составить план производства изделий А1 и A2, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции. Необходимо:
- решить задачу симплекс-методом;
- сформулировать двойственную задачу и найти ее решение;
- определить интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности;
- оценить стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину b1, b2 и b3 кг, соответственно, а также найти новый оптимальный план;
- решить исходную задачу геометрически.
Задание 1
Запишем задачу линейного программирования для данной задачи:
,
,
, (1)
,
.
В задаче (1) переменные количество единиц продукции вида A и B.
Приведем задачу (1) к каноническому виду. Для этого преобразуем все ограничения из неравенств в равенства (путем введения дополнительных переменных) и заменим задачу максимизации на задачу минимизации. Имеем:
,
,
, (2)
,
.
Составим 1-ю симплекс-таблицу
Таблица 1
Свободные
переменные
Базисные
переменные Свободный
член x1 x2
x3 432 2 5
x4 424 3 4
x5 532 5 3
Fmin 0 34 50
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, он равен 34. Первый столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 532/5. Разрешающий элемент находится на пересечении строки базисной переменной x5 и столбца свободной переменной x1.
Меняем местами переменные x5 и x1 и переходим к следующей симплекс-таблице, используя правило прямоугольника.
Таблица 2
Свободные
переменные
Базисные
переменные Свободный
член x5 x2
x3 1096/5 2/5 19/5
x4 524/5 3/5 11/5
x1 532/5 1/5 3/5
Fmin 18088/5 34/5 148/5
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, он равен 148/5. Второй столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 524/11. Разрешающий элемент находится на пересечении строки базисной переменной x4 и столбца свободной переменной x2.
Меняем местами переменные x4 и x2 и переходим к следующей симплекс-таблице, используя правило прямоугольника.
Таблица 3
Свободные
переменные
Базисные
переменные Свободный
член x5 x4
x3 420/11 7/11 19/11
x2 524/11 3/11 5/11
x1 856/11 4/11 3/11
Fmin 55304/11 14/11 148/11
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, он равен 14/11. Второй столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 60. Разрешающий элемент находится на пересечении строки базисной переменной x3 и столбца свободной переменной x5.
Меняем местами переменные x3 и x5 и переходим к следующей симплекс-таблице, используя правило прямоугольника.
Таблица 4
Свободные
переменные
Базисные
переменные Свободный
член x3 x4
x5 60 11/7 19/7
x2 64 3/7 2/7
x1 56 4/7 5/7
Fmin 5104 2 10
В последней строке нет положительных элементов, следовательно, оптимальное решение найдено:
Fmax = Fmin = 5104; X = (56; 64; 0; 0; 60).
Задание 2
Теоремы двойственности.
Первая (основная) теорема двойственности.
Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их целевых линейных функций равны:
или .
Если целевая линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.
Вторая теорема двойственности.
Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.
Двойственная задача линейного программирования для исходной задачи (1) имеет вид
.
Согласно теоремам двойственности ее решением будет вектор (2, 10, 0). При этом
.
Задание 3
Интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности имеют вид:
Переменная Теневая цена Полученный расход сырья Ограничение по сырью Допустимое увеличение Допустимое уменьшение
Y1 2 432 432 98 38,1818
Y2 10 424 424 22,1053 78,4
Y3 0 472 532 Не ограничено 60
Таблица 5
Задание 4
Оценим стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину b1 = 113, b2 = 27 и b3 = -100, соответственно, и найдем новый оптимальный план.
Новая задача линейного программирования имеет вид:
,
,
, (3)
,
.
X = (17,857; 101,857; 0; 0; 37,143).
При этом оптимальном плане стоимость готовой продукции равна
Fmax = Fmin = 5700,
Т.е. при максимальная стоимость продукции выросла на 5700 – 5104 = 596 ед.
Задание 5
Решим исходную задачу (1) геометрически.
Построим в системе координат X1OX2 построим три прямых, соответствующих трем ограничениям исходной задачи:
ограничение (1),
ограничение (2),
ограничение (3).
Построим область допустимых значений:
x1 0 216
x2 86,4 0
x1 0 141,33
x2 106 0
x1 0 116,4
x2 194 0
Области допустимых значений для всех трех ограничений лежат ниже данных прямых, выше оси O X1 и правее оси OX2.
Вектор направления наибольшего возрастания целевой функции Fmax равен (34, 50). Линии уровня перпендикулярны вектору , одна из них приведена на рисунке. Перемещая линию уровня по направлению , находим наиболее удаленную от начала координат точку. Из графика видно, что эта точка X является пересечением прямых, соответствующих ограничениям (1) и (2). Ее координаты
←предыдущая следующая→
1 2 3