Уравнения с параметрами

Министерство общего и профессионального образования

Свердловской области

Управление образования Администрации города Нижний Тагил

Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55

Образовательная область: математика

Предмет: алгебра

РЕФЕРАТ

на тему:

Решение задач с параметрами

Исполнитель:

Научный руководитель:

Рецензент областного тура:

Нижний Тагил

2004

Оглавление

Введение 3

1. Основные определения 4

2. Аналитический способ решения задач 5

2. 1. Линейные уравнения 5

2. 2. Квадратные уравнения 8

2. 3. Системы уравнений 13

3. Графический метод решения задач 16

4. Заключение 18

Список литературы 19

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерно-стей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхо-да к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультатив-ных занятиях.

Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой те-мы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к отве-ту.

В первой части моего реферата я ввожу некоторые обозначения, исполь-зуемые впоследствии для более краткой записи решений; во второй части я рас-сматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения задач, а в третьей – графический метод.

Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

1. Основные определения

Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связа-ны с решением уравнений и неравенств или исследованием функций, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.

Введём следующие обозначения и термины:

N={1, 2, …} – множество всех натуральных чисел;

={0, 1, 2, …} – множество всех натуральных чисел с нулём;

Z={-N, 0, N} – множество всех целых чисел;

Q={Z, , где pZ, qN} – множество всех рациональных чисел;

R={Q, иррациональные числа} – множество всех действительных чи-сел;

 – пустое множество – множество, не имеющие ни одного элемента;

 – знак принадлежности;

 – знак следствия;

 – знак равносилия;

ОДЗ – область допустимых значений;

D – дискриминант.

2. Аналитический способ решения задач

2. 1. Линейные уравнения

Пример 1. Решить относительно х:

.

(1)

По смыслу задачи (m-1)(x+3)  0, то есть m  1, x  –3.

Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

, получаем

.

Отсюда при m  2,25 .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых найденное значение x равно –3.

,

решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.

Ответ: при т  1, т  2,25, т  –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение ; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т = 1 урав-нение (1) не имеет смысла.

Пример 2. Решить относительно х:

(1)

ОДЗ: х  –а, х  0;

Поскольку уравнение (1)



(2)

и левая часть уравнения (2) неотрицательна, дополнительно к условиям ОДЗ налагаем условие а  0;



;

(3)

при этих условиях

;

теперь к условиям (3) добавляем ещё условие

;

в условиях (3), (4) имеем

(4)

при а = 0 х = 0 в силу условий (3), (4); при а  0 х ; отсюда, добиваясь выполнения условия (4), получаем

Ответ: при а = 0 х = 0; при а  1 уравнение (1) имеет единственное ре-шение х ; при а  0, 0  а  1 уравнение (1) не имеет решений.

Пример 3. Решить относительно х:

(1)

а). Х  0,

;

по условию х  0, то есть параметр должен удовлетворять условию

б). Х  0,

по условию х  0, то есть

 0  1;

.

Ответ: при уравнение (1) имеет два решения при  1 уравнение (1) не имеет решений.

2. 2. Квадратные уравнения

Пример 1. Решить относительно х:

(1)

а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0  х = 2;

б). Пусть а  0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а  0  а  х  ;

при 1– 4а  0  а  .

Ответ: при а = 0 х = 2; при а  0 и а  уравнение (1) имеет два реше-ния ; при а  0 и а  уравнение (1) не имеет решений.

При исследование квадратичной функции мы используем теоремы, кото-рые также помогают при решение задач с параметрами.

Т1. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b  0,

c  0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b  0, c  0, то оба корня этого уравнения неотрицательны.

Т2. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного урав-нения были больше заданного числа d:

Пример 2. При каких значениях параметра а, корни уравнения неотрица-тельны:

(1)

Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а  0, тогда получим

(2)

По Т1: ;

1). D = ; приводим к общему знаменателю а2, получаем

; .

2).  0; корень уравнения : а = –2 и а  0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 1).

Получаем а  –2, а  0

3). ; корень уравнения : а = –3

и а  0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).

Получаем –3  а  0.

4). Объединим полученные результаты:

(Рис. 3)

Получаем

Ответ: при уравнение (1) имеет неотрицательные корни.

Пример 3. При каких значениях параметра а, корни уравнения больше 1:

(1)

По Т2: .

1).

 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем

корни данного уравнения: . Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).

Получаем  а 

2). , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а  0;

2а + 1  2а  2а – 2а  –1  0  –1  а  R.

3). Y(1) = 2а –2;

корни уравнения 2а(а-1)  0: а1 = 0; а2 = 1.

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).

Получаем а  0, а  1

4). Объединим полученные результаты:

(Рис.6)

Получаем

Ответ: при корни уравнения (1) больше 1.

Пример 4. При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключе-ны строго между –2 и 4:

Способ 1: (1)

; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7).

Получаем

Способ 2:

По Т2:

1). D = 1 0;

2). ;

3). Y(–2) = а2+4а+3

а2+4а+3  0; корни уравнения а2+4а+3 = 0: а1 = –3, а2 = –1; нанесем получен-ные точки на координатную прямую (Рис. 8).

Получаем а  –3, а  –1.

Y(4) = а2–8а+15

а2–8а+15  0; корни уравнения а2–8а+15 = 0: а1 = 3, а2 = 5; нанесем получен-ные точки на координатную прямую (Рис. 9).

Получаем а  3, а  5.

4). Объединим полученные результаты:

(Рис.10)

Получаем –1  а  3.

Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотно-шением 2х1+х2 = 3:

по теореме Виета: ; составим и решим систему: получаем х1 = 1, х2 = 1, тогда а = 1.

Ответ: а = 1.