←предыдущая следующая→
1 2 3
КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.
§1. Пространство R(p1,p2).
А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,e}, где а иe соответственно точка и вектор.
Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= e , de= We (1),
причем формы Пфаффа и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :
D = W , DW=WW=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* =e + de + 1/2d2e + 1/6d3e +... по отношению к вектору е. Тогда e* =e*e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора e* , близкого к e , по отношению к e.
Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -е.
Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+=0, -W+=0.
Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2) являются формы Пфаффа : W+ , -W+.
Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.
§ 2. Отображение f.
А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; dej= Wj k;
DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2R(p1,p2).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)
Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :
Q+W=jWj ; Q-W=jWj (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :
Wj=j(Q+W)+j(Q-W) (3)
Из (2) и (3) получаем :
kj+kj=jk
jj=1
jj=1 (*)
jj=0
jj=0
Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.
§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.
D(λjWj-W-Q)=0,
получаем :
dλj=λkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk
D(μjWj+W-Q)=0
получаем :
dμj=μkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+μjkWk
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :
Q+W=λjWj
Q-W=μjWj
dλj=λkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk
dμj=μkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+μjkWj
Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={λj,μj} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :
dλk^Wjk+λkdWjk+14(λjμk-λkμj)^Wk+14(λjμk-λkμj)dWk+dλjk^Wk+λjkdWk=0.
получим:
(dλjt-λktWjk-λjkWtk+14(λkμjt-μkλjk)Wk+116λtμk(λj-μj)Wk)^Wt=0
dμk^Wjk+μkdWjk+14d(λjμk-λkμj)^Wk+14(λjμk-λkμj)dWk+dμjk^Wk+μjkdWk=0
получим:
(dμjt-μktWjk-μjtWtk+14(λkμjt-μkλjt)Wk+116λtμk(λj-μj)Wk)^Wt=0
обозначим:
λj=dλj-λtWjt
μj=dμj-μtWjt
λjk=dλjk-λtkWkt-λjtWkt
μjk=dμtkWjt-μjtWkt
Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:
Q+W=λjWj
Q-W=μjWj
dλj=λkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk
dμj=μkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+μjkWk (4)
λjk=(14(μαλjk-λαμjk)+116λkμα(μj-λj)+λjkα)Wα
μjk=(14(μαλjk-λαμjk)+116λkμα(μj-λj)+μjkα)Wα
Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={λj,μj,λjk,μjk} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :
ГР={λj,μj,λj1j2,μj1j2,...,λj1j2...jp,μj1j2...jp}.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λj},{μj} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:
λjXj=1 ; μjXj=1 (6)
не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λj,μj} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λj,μj} охватываются объектом Г1.
Из (*) получаем:
dλj=-λkWkj-14(λj+μj)μtWt-λktλkλtWt-μktWt^λkμj
dμj=-μkWkj-λktμkλjWt-μktμkμjWt+14λt(λj+μj)Wt
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.
Предположение 1.Конец вектора v1=λjej (вектора v2=μjej) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:
λjXj=0 , μjXj = 0 (7).
Предположение 2. Основные векторы {λj} и {μj} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:
λjXj=1
V2
V1 μjXj=1
Система величин ρj=λj-μj образует ковектор: dρj=ρkWjk+(μjk-λjk)Wk.
Определяемая им прямая ρjXj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).
Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) содержащее элементы (р1,р2) определяемое условием: (р1*,р2*)∈W↔p1*p2*=p1p2.
←предыдущая следующая→
1 2 3