Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную  |  Добавить в избранное  

Математика /

Численные методы

←предыдущая  следующая→
1 2 3 



Скачать реферат


8 ИНТЕГРИРОВАНИЕ

8.1 Введение

Одномерный определенный интеграл вида

(8.1)

с пределами интегрирования можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямых , осью абсцисс и графиком подынтегральной функции Если известна первообразная для то интеграл легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами

Рис. 8.1

подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией . Хотя эти методы обычно предпочтительны в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для вычисления последних наиболее пригоден метод Монте-Карло (численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин).

8.2 «Классические» методы

Во всех этих методах отрезок интегрирования разбивается на достаточно большое число равных частей, на которых строятся искомые площади (рис. 8.2):

и

Оценкой площади под кривой служит сумма площадей криволинейных трапеций Простой прием построения формул для расчета интегралов состоит в том, что подынтегральная функция заменяется

на отрезке интерполяционным многочленом и получается приближенное равенство

Рис.8.2

8.2.1 Метод прямоугольников

Простейшей оценкой искомой площади слижит сумма площадей прямоугольников, заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунке 8.3.а.

Рис.8.3

В обычном методе прямоугольников значение вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением

где

Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах получим примерное значение искомого определенного интеграла

где (8.2.а)

Погрешность приближения показана на рисунке 8.3.а закрашенной фигурой.

Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении не в начальной, а в средней точке каждого отрезка (рис.8.3.б). В этом случае искомый интеграл оценивается выражением

где (8.2.б)

8.2.2 Метод трапеций

Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными значениям в начале и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции отрезком прямой, соединяющей значения в начальной и конечной точках отрезка (рис.8.4).

Рис.8.4

Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле

где

Просуммируем элементарные площади

т.к. то полная площадь определяется выражением

(8.3)

Погрешность приближения (как и в предыдущем случае) показана на рисунке 8.4 закрашенной фигурой.

8.2.3 Метод Симпсона (парабол)

Более высокую точность расчетов обеспечивает использование параболической (квадратичной) интерполяции по трем соседним точкам отрезка (рис.8.5). Уравнение полинома второй степени, проходящего через точки можно записать в виде

(8.4)

(см. раздел 7 «Интерполяция полиномами Лагранжа»).

Проинтегрировав (8.4) с учетом того, что получим — площадь под параболой на отрезке

Просуммировав все элементарные площади, получим (8.5)

причем — обязательно четное число.

8.2.4 Условия применимости, точность и сходимость классических методов

А. Практически все выведенные формулы применимы для численного интегрирования достаточно регулярных функций т. е. для функций, которые можно аппроксимировать полиномом:

(8.6)

В методе прямоугольников на каждом малом сегменте заменяется прямой, описываемой первым членом в разложении (8.6): (рис.8.3). В методе трапеций для берутся два члена разложения: (рис.8.4); метод Симпсона (парабол) учитывает еще и третий член разложения: (рис.8.5).

Если — «гладкая функция», то можно вычислить с разбиениями отрезка , а затем удвоить число отрезков и снова вычислить эту площадь . Если то вычисления завершаются. В противном случае число разбиений вновь увеличивается вдвое до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Очевидно, что величина погрешности зависит от характера функции , ее поведения на концах отрезка интегрирования, следовательно, никакой численный метод не может быть рекомендован как универсальный. Применение конкретного метода зависит от вида подынтегральной функции .

Б. Не вдаваясь в математические тонкости выведения формул погрешностей вычисления интеграла различными методами, приведем лишь сами формулы. (Любознательных читателей, интересующихся выводами, отсылаем к учебникам по математическому анализу, например [3,4]). Итак, формулы для оценки погрешности численного интегрирования методом:

1) прямоугольников (обычным и модифицированным)

(8.7.а)

2) трапеций

(8.7.б)

3) Симпсона

(8.7.в)

где

Очевидно, формула Симпсона обладает повышенной точностью:

1) она оказывается точной для являющихся полиномами до третьей степени включительно, т.к. для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю;

2) для достижения той же точности, что и в формуле трапеций, в формуле Симпсона можно брать меньшее число отрезков разбиения.

В. Выше уже рассматривалась процедура оценки одномерных определенных интегралов, т.е. для выбранной классической формулы интегрирования вычисляются и для приемлемого значения . Сходится ли последовательность к истинному значению интеграла и существует ли какой-нибудь способ экстраполяции к пределу?

Рассмотрим этот вопрос на примере метода прямоугольников. Т.к. погрешность приближения в методе убывает как то —экстраполированное значение связано с — значением интеграла при разбиениях соотношением:

Отсюда сходимость данной последовательности очевидна.

Следовательно, формула прямоугольников дает последовательность

сходящуюся к некоторому числу

Т.к. ошибка метода трапеций имеет тот же порядок а метода Симпсона меньший порядок то очевидно, что последовательности в методах трапеций и Симпсона также сходятся к некоторым пределам.

8.2.5 Численное интегрирование многомерных интегралов

классическими методами

Все геометрические и механические величины, связанные с плоским непрерывным распределением массы вдоль некоторой фигуры, выражаются двойным интегралом. Например, элементарные статические моменты и моменты инерции относительно осей координат, а также координаты центра тяжести плоской фигуры рассчитываются по формулам, включающим в себя двойные интегралы. Многие физические задачи содержат усреднение по нескольким переменным, требующее вычисления многомерных интегралов порядка Таким образом, встает задача о вычислении многомерных интегралов.

Рассмотрим численное интегрирование классическими методами на самом простом примере двойного интеграла

(8.8)

Определим некоторую функцию как внутренний интеграл по переменной

(8.9)

тогда (8.10)

Для расчета интеграла (8.9) отрезок интегрирования необходимо разбить на частей; разобъем для простоты отрезок также на частей и вычислим интегральную сумму для (8.9) по точкам одним из описанных классических методов. Очевидно, для расчета интеграла третьего порядка потребуется считать сумму по точкам, для -мерного интеграла — по точкам. Понятно, что для больших значений обычные численные методы становятся неприемлемыми. Для таких расчетов применяется метод Монте-Карло.

8.3 Метод Монте - Карло

Основывается на теореме о среднем: если на отрезке задана некоторая непрерывная интегрируемая функция то найдется такая точка, принадлежащая этому отрезку, что справедлива формула

(8.11)

Т.е. площадь криволинейной трапеции можно заменить площадью прямоугольника , одной из сторон которого является отрезок , а численное значение другой стороны — (рис.8.6).

Выберем на отрезке случайных точек Можно

показать, что при

←предыдущая  следующая→
1 2 3 



Copyright © 2005—2007 «Mark5»