1.Метрические, линейные, нормированные пространства.
2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.
Понятие:
Пусть даны множества D Rn и I R.
Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, …, xn). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.
Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, …, хn=cn; y=f(x1, c2, …, cn) - функция одной переменной х1.
Пример. - функция двух переменных,
- функция трех переменных.
Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).
Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y функцией от n переменных.
3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.
4.Непрерывность сложной функции.
Пусть функция (t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=(t0). Тогда функция f((t)) непрерывна в точке t0.
Доказательство.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем
Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что
,
что и говорит о том, что f((t)) непрерывна в точке t0.
Обратите внимание на следующие детали:
а) т.к. x=(t), то |(t)-(t0)| х0 , то в точке х0 имеется минимум.
2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0 , в том числе и в самой точке х0 , существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х0 существует вторая производная f''(х0). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции
Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание f'(х0)0, при х > х0 . (для значений х из достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f''(х0)