1
Определение. Ф-я F(x) назыв. первообразной для ф-и f(x) на нек. множестве Х, если в каждой точке этого рав-ва выполн. условие:
F'(x) = f(x)
Теорема1.
Если ф-я f(x) имеет 2 первообразные F1(x) и F2(x), то разность м-у ними равна пост. числу, т.е.
F1(x) - F2(x) = C, где С- пост.
Доказательство: т.к. F1 и F2 по условию первообразные, то имеет место два равенства:
F1'(x) = f(x)
F2'(x) = f(x)
Обозначим F1(x) - F2(x) = φ(x), продифференцируем последнее равенство, используя два неравенства: F1'(x) - F2'(x) = f(x) - f(x) = 0.
Т.о. φ'(x) = 0, видно, что функция φ(x) постоянна, воспользуемся теоремой Лагранжа для φ(x), х[a,b]: φ(x) - φ(a) = φ'(ξ)(x - a) x 1 - целое число, (p2/u) - q = D < 0
Рассм. интегралы от этих дробей.
I. ∫ А/(х-а) dx = A ln│x-a│+ C
II. ∫ А/(х-а)к dx = A ((x - a)-k+1/(-k+1)) + C
III. ∫(Ах+В)dx/(х2+рх+q) = A/2 ∫(2x+p)dx/(х2+рх+q) - Ap/2 - B ∫ dx/(х2+рх+q)
(х2+рх+q)' = 2x+p
Ax+B = (2x+p) A/2 - Ap/2 +B
Выделим сначала произ. знаменателя.
В первом из этих интегралов, как видно, числитель – произв. знам-ля он будет равен логарифму знам-ля, т.е. ∫(2x+p)dx/(х2+рх+q) = ln│х2+рх+q│+ C
Во втором из этих интегралов выделяем полный квадрат и затем сводим к arctg, получим ∫dx/(х2+рх+q) = 2/√4q - p2 * arctg (2x+p)/√4q - p2 + C
Чтобы применять следующую формулу надо проверять дискриминант:
∫(Ах+В)dx/(х2+рх+q)=A/2 ln│х2+рх+q│-(Ap-2B)/√4q - p2 * arctg (2x+p)/√4q - p2 + C
IV. Для дроби этого типа существ. рекур. ф-лы., позволяющие понижать k до единицы.
5
Рацион. дроби назыв. правильными, если показатель степени числ. дроби меньше, показателя знаменателя.
Всякая неправильная раион. дробь может быть представлена в виде суммы многочлена т прав. рацион. дроби.
Q(x)/P(x) = M(x) + Q1(x)/P1(x)
Далее для интегрирования прав. рацион. дроби её предс. в виде суммы дробей, указ. выше типов, руководствуясь след. утверждением:
Если знам-ль правой рац. дроби предст. в виде разложения
Q(x)/P(x) = P(x)/((x-a)α * (x2+px+q)β) =
То имеет место след. утверждение:
= A1/(x-a) + A2/(x-a)2 + Aα/(x-a)α + (M1x + N1)/(x2+px+q) + (M2x + N2)/(x2+px+q)2 + … + (Mβx + Nβ)/(x2+px+q)β
Как видно из посл. рав-ва правая часть предс. собой сумму простейших дробей, при этом каждому действит. однокр. корню соответствует простейшая дробь 1 типа. Каждому кратному действ. корню соотв. простейшие дроби 1 и 2 типов.
Если корень знам-ля комплексное число (D0, и меньше там, где f(x)