Шпоры

1. Функция, ОДЗ

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции - множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xX}.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= - f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1f(x2).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MR|xданному промежутку |f(x)|M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mR |xданному промежутку mf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mR |xданному промежутку mf(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х1 и х2 соответствуют различные значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого уУ мы сможем поставить в соответсвие хХ| y=f(x). Получает отображение f-1: УХ. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x, =const, R. D(f)=(0;+). Если ND(f)=R.

2. Показательная. y=ax, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х →х0 )называют число а, если для любой последовательности { хn} значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn≠ х0) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х0 есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0 , соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х →х0, если

и бесконечно большой при х →х0 , если

Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х →х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х →х0).

2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова бесконечно малая функция.

8. Свойства предела функции.

1. Функция f(x) в точке х0 может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть (1)

и одновременно

где a≠b. (2)

Тогда для любой последовательности { хn} сходящейся к х0 (где все хn≠ х0), мы должны иметь два предела

что невозможно, т.к. последовательность {f(хn)} может иметь только один предел.

2.Если f(x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U1=( х0-ε ; х0+ε), ε>0 . Ввиду неограниченности f(x) в этой окрестности должна найтись точка х1 U1 , такая что │f(х1)│>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U2=( х0-ε/2 ; х0+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х2 U2 , такая что │f(х2)│>2. Продолжив это рассуждение, получим Un=( х0-ε/n ; х0+ε/n) , f(хn) > n, хn → х0 ; f(хn)→∞. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) ≥b , то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).

4.Если в некоторой окрестности точки х0 имеем f(x)≥g(x) , то и если пределы существуют.

5. Если в некоторой окрестности точки х0 имеем f(x)≥g(x)≥h(x) причем пределы f(x) и h(x) при х→ х0 существуют и равны между собой

Арифметические свойства пределов.

9. Односторонние пределы.

Опр.Число а называют пределом функции f(x)в точке х0 справа, если для любой сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все хn>х0, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

Аналогично определяют предел функции слева:

10. Асимптоты функций.

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя бы один из пределов

Прямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у=f(x) при х→+∞, если f(x) представима в виде f(x)= кх+b+α(х), где

Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел х→+∞ наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.

11 Монотонные функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1 (1+1/(n+1))n или f(x) ≥(1+1/x)x>g(x). При х→+∞ ,n →+∞, f(x) и g(x)→е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)x →е(при х→+∞), что и т.д.

2) при -∞. Пусть х=-t, где t>0.

(1+1/x)x=(1-1/t)-t =((t-1)/t)-t =(t/(t-1))t =(1+1/(t-1))t =(1+1/(t-1))t-1 (1+1/(t-1))x Выражение в правой части →е*1=е при х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.

13. Формула непрерывных процентов.

К0-исходный капитал.

Р- номинальная процентная ставка.

к- число периодов начисления .

Пусть к=1, тогда К=К0*(1+р/100)

к=2, К=К0(1+р/2*100)2

… к=360, К=К0(1+р/360*100)360 …,т.е. К=К0(1+р/к*100)к→К0*ер/100 при к →∞(это случай, если начисление процентов производится в течение одного года). Когда начисление процентов производится на протяжении нескольких лет – t, то, разделив промежуток [0;t] на к равных периодов начисления процентов, получим (к→∞):

К0lim (1+рt/100*к)к= К0*ерt/100

К=К0*ерt/100-формула непрерывных процентов.

14 Непрерывность функции в точке.

y = f(x), x0  D(f)

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x0 существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x0)

X Xo

y y = f(x) x  x0; f(x)  f(x0)

F(x0) y

x0 x Δy

x - x0 = Δx

f(x) – f(x0) = Δy

x x0

Δx x

f(x) непрерывна в точке x0  lim Δy = 0

ΔX  O

Свойства функций непрерывных в точке

1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x0, то f(x) ± g(x); f(x)• g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x0.

Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x0

Дано: f(x) и g(x) – непрерывны в x0  lim f(x) = f(x0); lim g(x) = g(x0)