←предыдущая следующая→
1 2 3
1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свой-ства.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.
Матрицы равны между собой, если равны все их соот-ветствующие элементы.
Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.
Матрица, все элементы которой, кроме элементов глав-ной диагонали равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обознача-ется буквой Е.
Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треуголь-ной.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называ-ется нулевой.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2. Умножение матриц. Транспонирование. Свойства.
Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк дру-гой матрицы.
где
1.
2.
3.
4.
Матрица, полученная заменой каждой ее строки столб-цом с тем же номером, называется матрицей транспо-нированной, к данной.
1.
2.
3. Определители матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
1.
2.
3.
Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают про-изведение элементов на главной диагонали.
Свойства:
1. Определитель не изменится, если его строки заме-нить столбцами, и наоборот.
2. При перестановке двух параллельных рядов опре-делитель меняет знак.
3. Определитель, имеющий два одинаковых или про-порциональных ряда, равен нулю.
4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.
5. Если элементы какого-либо ряда представляют со-бой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих опреде-лителей.
6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элемен-тов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополне-ние.
8. Сумма произведения элементов одного ряда на ал-гебраические дополнения параллельного ряда рав-на нулю.
4. Разложение определителя по элементам ряда. Теорема замещения.
Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение.
Берем любые N чисел и умножим на ал-гебраическое дополнение какой-либо строки.
5. Обратная матрица. Достаточное условие суще-ствования обратной матрицы.
1.
2.
3.
Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.
6. Элементарные преобразования матриц. Ранг мат-рицы. Вычисление ранга матрицы.
1. Перестановка местами 2 параллельных рядов мат-рицы.
2. Умножение элементов ряда матрицы на число от-личное от нуля, отличное от нуля.
3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы со-ответствующих элементов параллельного ряда, ум-ноженных на одно и тоже число.
Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого поряд-ка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы.
7. Решение линейных уравнений. Решение невырож-деных систем.
Метод Гаусса.
Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.
Формула Крамера.
Подсчитать определитель матрицы А.
Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.
8. Решение произвольных систем. Теорема Кронеке-ра-Капелли.
Система линейных алгебраических уравнений совмест-на тогда и только тогда, когда ранг расширенной мат-рицы системы равен рангу основной матрицы.
Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из которых составлен базисный минор. Не-известные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными и остаются слева, а ос-тальные называются свободными и переносятся в пра-вую часть уравнения. Найдя главные через свободные, получим общее решение системы.
9. Однородные система уравнений. Фундаменталь-ная система решений.
Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвест-ных, то система имеет бесчисленное множество реше-ний. Для того, чтобы система имела ненулевые реше-ния, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.
10. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства.
Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действи-тельных чисел. На этом множестве введем две опера-ции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
V; x, y, z, … V
Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.
Элементы линейного пространства называются векто-рами, обозначаются , , . Существует единствен-ный нулевой элемент, для каждого элемента существу-ет единственный противоположный.
Линейная зависимость и независимость системы векто-ров. Пусть имеется n векторов.
Составим линейную комбинацию:
, если система n век-торов – линейно-зависима.
Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.
Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.
Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая сис-тема n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n
Система этих n линейно-независимых векторов называ-ется базисом линейного пространства. Рассмотрим сис-тему n+1 векторов.
Такое представление называется разложение по ба-зису, а числа называют координатами вектора.
Разложение любого вектора в выбранном базисе - един-ственно.
11. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразо-вание координат вектора при переходе к новому ба-зису.
n – мерное пространство.
Vn – базис, состоящий из n векторов.
В пространстве есть базисы
Введем матрицу перехода от к .
12. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами.
Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже есть 2 операции (сложение и умножение). В этом про-странстве введем еще одну операцию. Она будет удов-летворять следующим аксиомам.
1.
2.
3.
4.
Указанная операция называется скалярным произведе-нием векторов. N – мерное линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения, назы-вается Евклидовым пространством.
Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата.
Длина вектора удовлетворяет следующим условиям:
1. , если
2.
3. - неравенство Коши-Буня
4. - неравенство треугольника
13.Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
1.
2.
3.
4.
14. Векторное произведение векторов и его свойства.
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.
Векторным произведением вектора на вектор на-зывается вектор , который:
1. Перпендикулярен векторам и .
2. Имеет длину, численно равную площади параллело-грамма, образованного на векторах и .
, где
3. Векторы , и образуют правую тройку векто-ров.
Свойства:
1.
2.
3.
4.
15. Смешанное произведение векторов и его свойст-ва.
Смешанное произведение записывают в виде: .
Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произ-ведение представляет собой
←предыдущая следующая→
1 2 3