←предыдущая следующая→
1 2
Нелінійна динаміка. Теорія хаосу. Фронтальна геометрія.
Хаотичними називаються такі динамічні системи рух яких не можна передбачити на великий проміжок часу і в яких відсутні невідомі сили і параметри.
Повинні розрізняти випадкові і хаотичні рухи. Перший термін відноситься до си-туацій, коли нам невідомі діючі сили, або ми маємо деякі статистичні характерис-тики параметрів. Термін “хаотичний” використовується в тих детермінованих за-дачах де відсутні випадкові або непередбачувальні сили. Основоположником був Паре (854 - 912). У сучасній літературі термін “хаотичний” використовується до таких рухів у детермінованих фізичних і математичних системах, траєкторії яких виявляють сильну залежність від початкових умов.
ААА…
АВАВ…
ААВАВВВ … - хаос
Періодична дія частоти викликає відгук широкого спектру частот. Збудження без-перервного спектру частот, що знаходиться нижче частоти збудження є однією із особливостей хаотичних коливань. Друга властивість: втрати інформації про по-чаткові умови.
Стала h пов’язана з поняттям ентропії у теорії інформації. Показник Ляпунова – міра швидко-сті розбігання близьких траєкторій системи.
Для дисипативних систем хаотична динаміка розвивається у рамках визначеної структури. Цю структуру нелегко досліджувати за допомогою звичайних методів динаміки, відкладаючи зале-жність відгуку від часу, або отримуючи частот-ний спектр. такі системи досліджуються у фазо-вому просторі, де і проявляються їх фрактальна структура.
Поняття фракталів.
Фрактали – множини з нецілою розмірністю Хаусдорфа-Безиковича. Поняття розмірності виникло в топології. Під розмірністю множини розуміли її топологі-чну розмірність. Топологічна розмірність може приймати цілі значення dt=-1,0,1,2…
-1 – характеристика пустої множини; 0 – точка; 1 – пряма; 2 – площина; …
розглядається рівномірне розподілення N0 точок вздовж кривої.
Якщо ми будемо покривати площину прямокутниками з стороною ε, причому кубів N3 при хаотичному русі з’являються складним чином побудовані притягуючі множини, траєкторії відо-бражаючих точок яких не належать ні до одного з вище наведених типів атракто-рів. Фазові траєкторії представляються у вигляді нескінченних, що ніде не пере-тинаються ліній, причому при траєкторія не залишає замкненої області і не притягується до відомих типів атракторів. Такі траєкторії називаються стійкими по Пуассону, де мається на увазі факт повернення траєкторії з часом в малий окіл початкової точки. Саме з існуванням таких траєкторій пов’язують хаотичну пове-дінку детермінованих динамічних систем з розмірністю фазового простору .
Атрактори у вигляді граничних циклів станів рівноваги l-вимірних торів назива-ється простими або регулярними. Рух на них відповідає стійкості по Ляпунову. З дивним атрактором пов’язано реалізацію складного регулярного коливального режиму, який схожий на стаціонарні випадкові процеси. Принципова різниця між регулярними і дивними атракторами у тому, що регулярні характеризуються стій-кістю як по Ляпунову, так і по Пуассону. А дивні стійкі по Пуассону і не стійкі по Ляпунову. У фазовому просторі дивний атрактор має фрактальну структуру.
Нелінійні елементи.
Будь-яка хаотична система повинна мати нелінійні елементи або властивості. У лінійній системі не буває хаотичних коливань. У лінійній системі періодичний зовнішній вплив викликає після затухаючих перехідних процесів періодичний відгук того ж періоду.
Джерелами хаосу можуть бути такі елементи:
1. Нелінійні пружні елементи: пружини (затухання типу тертя)
2. Щілини або обмежені отвори
3. Сили, що створюються рідинами
4. Нелінійні зворотні зв’язки у системах управління
5. Нелінійні граничні умови
6. Нелінійні резистори, ємності, або індуктивні елементи електричних ланцюгів
7. Діоди
8. Електричні, магнітні сили
9. Геометричні нелінійності зв’язані з сильними деформаціями
10. Перелік систем де спостерігається хаотичні коливання
11. Коливання вигнутих пружних атракторів
12. Аеропружні системи
13. Магнітомеханічні приводи
14. Системи з обертаннями або гіроскопами
15. Лазери і нелінійні акустичні системи
Показник Ляпунова.
. Якщо d0- міра початкової відстані між двома заданими точками, то через малий проміжок часу t відстань між траєкторіями що виходять із цих точок стає рівною по формулі. - показник Ляпунова. Основа 2 вибрана для зручності і може бути будь-якою. Експоненціальне розбігання хаотичних траєкторій може бути тільки локальним. Так як система обмежена, то d(t) не може зростати до не-скінченності. Таким чином для того щоб визначити міру розбігання траєкторії не-обхідно усереднити експоненціальне зростання по багатьом точкам вздовж траєк-торії, як показано на малюнку:
Обчислення показника Ляпунова по-чинається з обраної початкової точки на сусідній траєкторії і оцінюванням величини . Коли d(t) стає дуже великим, тобто зростання від експо-ненціальної поведінки обираємо нову сусідню точку. Показник Ляпунова можна задати виразом:
Критерії хаосу в термінах показника Ляпунова має вигляд - хаотичний рух, - регулярний рух.
Біфуркації
Зі зміною параметрів динамічної системи може змінюватись кількість точок рів-новаги і їх стійкість. Такі зміни нелінійної системи пов’язані зі зміною параметрів системи є предметом теорії біфуркацій. Ті значення параметрів при яких зміню-ються якісні або топологічні властивості руху називаються критичними або бі-фуркаційними значеннями.
Види біфуркацій:
1. Осцилограф Дуффінга
якщо
якщо
Значення параметру є біфуркаційним.
З однієї точки з’являється три – біфуркація типу “вили”.
2. біфуркація типу Хопфа. При подальшій зміні керуючого параметру знову від-буваються біфуркації вже нових рішень. Існує деяке значення накопичення при перевищенні якого біфуркації змінюються появою хаосу.
Відображення і потоки.
Поняття потоку описує пучок траєкторій в фазовому просторі, який починаєть-ся на множині близьких початкових умов. Проте, певну якісну і кількісну інфор-мацію про систему можна отримати аналізуючи еволюцію системи на дискретно-обраних моментах часу. Зокрема, це робиться за допомогою перетинів Пуанкаре, яке дозволяє розрізнити рухи якісно відмінних типів, наприклад гармонічних, субгармонічних, хаотичних.
Відображення Пуанкаре.
При математичному дослідженні динамічних систем, відображенням назива-ють виборку за часом даних причому вводять позначення, що .
У простому детермінованому відображенні можна знайти за значенням . Поняття відображення узагальнюється і на більшу кількість змінних, так може бути вектором з М компонентами. Тоді будемо мати систему з М рівнянь.
Припустимо , тоді будемо мати відображення:
Відображення Пуанкаре для систем з вимушеними коливаннями
Коли присутні примушуючий рух з періодом Т, то для отримання відображен-ня Пуанкаре робиться виборка, коли .
Відображення Пуанкаре для автономних систем
Стаціонарні коливання можуть збуджуватись без періодичних, або випадкових виливів, якщо система динамічно нестійка. У такому випадку перетин Пуанкаре будується завданням у фазовому просторі орієнтованої поверхні розмірності n-1. Після чого фіксуються точки перетину фазових траєкторій з цією поверхнею в одному і тому ж напрямку. Якщо система хаотична, то відображення Пуанкаре буде містити фрактальну структуру.
Класи структур, що зустрічаються у відображенні Пуанкаре:
1. Обмежений набір точок – це періодичні або субгармонічні коливання.
2. Замкнена крива – це квазіперіодичний рух
3. Фрактальний набір точок – це дивний атрактор у тривимірному фазовому про-сторі.
Відображення Фейгенбаума.
- рівняння, що описує ріст популяції. Лінійні члени описують ріст або народження, а нелінійні відповідають за обмеження росту, пов’язане з обме-женням харчових або енергетичних ресурсів.
Нехай , тоді
Рішення стійке, коли , і нестійке, коли . Отримаємо нереалістичне зро-стання нашої популяції. Це рівняння переписують в іншому вигляді: . Дістанемо точки рівноваги для відображення. Нам потрібно розв’язати рівняння
Таке рівняння можна дослідити графічно:
Кожну точку треба дослідити на стійкість по Ляпунову. Якщо , то то-чка спокою нестійка; , то точка спокою стійка.
Якщо на цьому проміжку буде нестійкою точкою, а друга точка буде стійкою. Цей процес називається перехідним періодом. В момент, коли обидві точки стають нестійкими.
Але з’являються стійкі точки періоду 2. Для того, щоб їх знайти необхідно до-слідити точки рівноваги другої ітерації відображення, тобто ми будемо брати і точка буде відображатись сама в себе.
З часом маємо стійку точку і рівняння коло такої точки потрапляє на цикл періоду 2. При подальшій зміні параметра λ нові точки рівно-ваги знов змінюють свою стійкість і з’являються цикли з періодом 4.
Цей процес продовжується доки значення λ не досягає 3,56994 – число Фейгенбаума.
←предыдущая следующая→
1 2