Акиоматика геометрии

Введение

Lascante ogni speranca voi ch’entrate!

Dante

Современная геометрия построена по т. н. аксиоматическому методу, согласно которому в основу теории кладутся некоторые исходные положения – аксиомы (от греческого axiǒma – удостоенное, принятое положение, от axiόǒ – считаю достойным), или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теории) должны выводиться чисто логическим путём посредством доказательств. Назначение аксиоматического метода состоит в том, чтобы ограничить произвол при принятии научных суждений в качестве истин для данной теории. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Основной областью применения аксиоматического метода была и остаётся математика, хотя в той или иной мере метод использовался для изложения философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и других наук.

Система аксиом (аксиоматика) должна обладать рядом свойств, таких как непротиворечивость, полнота и независимость.

Непротиворечивость (совместимость) аксиоматики – свойство, состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения, взаимно исключающие друг друга.

Полнота – свойство научной теории или системы аксиом, характеризующее достаточность для каких-либо целей её выразительных и (или) дедуктивных средств.

Обычно рассматривают два аспекта понятия полноты: так называемые функциональную и дедуктивную полноту.

Непосредственно к аксиоматике относится полнота дедуктивная (именно она имеется в виду, когда говорится о полноте системы аксиом; слово «дедуктивная», как правило, опускается), однако само понятие полноты удобно проиллюстрировать на примере функциональной полноты применительно к естественному языку.

Итак, полнота языка – то (неформальное) его качество, благодаря которому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Например, английский язык функционально полон с точки зрения целей, которые имел в виду Уильям Шекспир, создавая «Гамлета» (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из «живых» языков, на которые переведён «Гамлет» полон в том же смысле: перевод (если он абсолютно точно передаёт замысел Шекспира) как раз и служит доказательством функциональной полноты.

Дедуктивная полнота. В зависимости от выбора критерия «достаточности» приходят к той или иной точной модификации понятия. Вообще аксиоматическая система называется (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или интерпретации, что то же, что и чаще употребляемый в этом реферате термин «модель»), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. В ряде случаев понятие дедуктивной полноты удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения математическими средствами. Такая дедуктивная полнота определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы.

Независимость – свойство системы аксиом, заключающееся в том, что ни одну из этих аксиом и ни одно из предположений, обратных им нельзя вывести логически, используя остальные аксиомы данной системы.

Если рассматривать свойство независимости на примере «живого» (естественного) языка, то его следует представить так: независимость понятия (термина или утверждения) от данной системы понятий (терминов или утверждений) – такое его свойство, которое не позволяет определить (вывести) его из той же системы понятий. Так, например, того же Гамлета мы можем описать тремя утверждениями: «Гамлет – литературный персонаж, принц датский, влюблённый в Офелию». Любое из этих утверждений никак не следует из остальных двух. Зато заменив утверждение о том, что Гамлет – литературный персонаж на другое – о том, что он был сыном датского короля, получим систему утверждений, в котором два первых не будут независимы от неё.

Чтобы доказать независимость утверждения (аксиомы) от данной системы, необходимо построить две модели, в одной из которых будут выполняться все утверждения этой системы, а в другой – все, кроме данного утверждения.

Исторический очерк

Диплом писал про древние святыни,

О скифах, о языческих богах.

При этом так ругался по-латыни,

Что скифы эти корчились в гробах.

Владимир Высоцкий

Геометрия как эмпирическая наука в ранний период достигла особенно высокого уровня развития в Египте в связи с землемерными и ирригационными работами.

В первом тысячелетии до н. э. геометрические сведения от египтян перешли к грекам, в Греции начался новый этап в развитии геометрии. В IV веке до н. э. Аристотель создал основы логики. К тому времени Фалес уже ввёл в математику метод рассуждения и доказательства (при доказательстве Фалес обходился вовсе без аксиоматики – не указывал на аксиомы, не пытался определить их наименьший необходимый для доказательств набор). Аристотель учил, что изложение теории должно начинать с первоначальных положений – аксиом, из которых выводятся дальнейшие факты – теоремы. За период с VII по III век до н. э. греческие геометры не только обогатили науку многочисленными новыми фактами, но предприняли также серьёзные шаги к строгому её логическому обоснованию.

Многовековая работа греческих учёных за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330 – 275 гг. до н. э.) в его знаменитом труде «Начала». Это сочинение даёт первое дошедшее до нас строгое логическое построение геометрии. В нём изложение настолько безупречно для тех времён, что в течение двух тысяч лет с момента появления «Начал» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

«Начала» включают тринадцать книг, из коих собственно геометрии посвящены I –IV и VI, где излагается планиметрия, а также XI – XIII, рассматривающие стереометрию. Остальные книги «Начал» посвящены арифметике в геометрическом изложении.

Хотя «Начала» Евклида и были длительное время образцом для сравнения, они далеко не достигают современного уровня строгости изложения. Данные в первой книге определения геометрических образов являются скорее описанием их, причём далеко не совершенным. Так, например, определение прямой линии не отличает её от окружности, а определение линии произвольной содержит упоминание о длине и ширине, понятия которых сами нуждаются в определении.

Не следует думать, однако, что дефектны все определения, данные Евклидом в первой книге «Начал». Наоборот, целый ряд определений, например, треугольника, окружности, острого, тупого и прямого углов либо безупречны, либо содержат незначительные, легко устранимые недостатки. Если при этом учесть, что свойства геометрических образов, содержащиеся в дефектных определениях, нигде в доказательствах не используются, то эти определения могут быть опущены без всякого ущерба для изложения.

Что касается постулатов и аксиом, то их формулировки безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств.

Однако несмотря на то, что согласно Евклиду доказательства всех предложений должны в конечном итоге опираться на свойства геометрических образов, определяемых постулатами и аксиомами, уже беглое знакомство с доказательствами Евклида убеждает нас в том, что в них неоднократно используются такие свойства геометрических образов и отношения между ними, которые не выясняются ни постулатами, ни аксиомами. Так, например, для доказательства предложения 4 (фактически, эквивалентного первому признаку равенства треугольников) он пользуется движением, а в ряде других доказательств ссылается на свойства взаимного расположения точек на прямой, выражаемые словами «лежать между». (Например, говоря о свойствах прямоугольного треугольника, Евклид считал понятным, ссылаясь на чертёж, что перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла, проходит внутри треугольника, т. е. Основание перпендикуляра лежит между концами гипотенузы (рис. 1) Иначе говоря, система аксиом или аксиоматика, построенная Евклидом, не является полной. Возникает естественный вопрос, нельзя ли освободить евклидовы доказательства от этого недостатка, заменив, быть может, их другими, опирающимися только на постулаты и аксиомы. Ответ на этот вопрос был получен сравнительно недавно. Оказалось, что это возможно только после надлежащего пополнения системы постулатов и аксиом (аксиоматики) Евклида.

В 1882 году немецкий математик Мориц Паш (1843-1930) сформулировал несколько аксиом о расположении точек и прямых. Привнесённую им группу аксиом принято называть аксиомами порядка. Одна из этих аксиом носит его имя (аксиома Паша; см. гл. «Аксиоматика Гильберта», стр. 6, рис. 2)

Исследование аксиоматики евклидовой геометрии завершил к 1889 году Давид Гильберт. Предложенная им система аксиом считается полной. Она состоит из пяти групп: аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности (т. е. равенства), аксиомы непрерывности и аксиома параллельности. Аксиомы эти пяти групп относятся к объектам трёх родов – точкам, прямым, плоскостям и трём соотношениям между ними, выражаемым словами «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая, плоскость, и каков конкретный смысл указанных соотношений, Гильберт не уточняет. И всё, что предполагается известным о них, это то, что выражено в аксиомах.

Гильберт подвергнул предложенную им систему аксиом глубокому и всестороннему исследованию. В частности, он доказал, что его система непротиворечива (см. ниже), если непротиворечива теория действительных чисел. Далее, Гильберт доказал независимость некоторых