Введение
Элементы важной и интересной области математики- теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п.
Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).
В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах- основных универсальных двигателях того времени- для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.
На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.
Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.
I. Постановка основной задачи аппроксимации
Основную задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим образом: на некотором точечном множестве в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции f(P) и F(P,A1,A2...An) от точки P , из которых вторая зависит ещё от некоторого числа параметров А1,А2...Аn; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в функции F(P,A1,A2...An) от функции f(P) было наименьшим. При этом, конечно, должно быть указано, что понимают под уклонением F от f или, как ещё принято говорить, под расстоянием между F и f.
Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то в качестве расстояния между двумя функциями можно взять верхнюю грань в модуля их разности. При таком определении расстояния для совокупности всех ограниченных в функций оказываются справедливыми многие соотношения, которые мы имеем для точек обычного 3х-мерного пространства.
Последнее обстоятельство, с которым постоянно приходится сталкиваться в математике при рассмотрении других классов функций и многих иных совокупностей (множеств), привело к созданию весьма важного понятия метрического пространства, так что при дальнейшем изложении совокупность - это метрическое, либо Гильбертово пространство.
1.1. Основная теорема аппроксимации линейном нормированном пространстве
Пусть Е- произвольное нормированное пространство, пусть g1,g2...gn- n линейно- независимых элементов из Е. Основную задачу аппроксимации применительно к рассматриваемому нами “линейному случаю” можно сформулировать следующим образом: дан элемент х Е, требуется определить числа , ... так, чтобы величина получила наименьшее значение.
Докажем, что требуемые значения чисел существуют.
Предварительно заметим, что - есть непрерывная функция своих аргументов. Действительно, в силу неравенства треугольника :
Введём теперь вторую непрерывную функцию:
На “сфере” , которая является ограниченным замкнутым множеством точек в n-мерном конечном Евклидовом пространстве, функция по известной теореме Вейерштрасса имеет некоторый минимум .
Неотрицательное число не может равняться 0, так как векторы g1,g2...gn линейно независимы. Так же . Обозначим ( )- нижняя грань значения функций . Если
, то
Желая найти минимум функции , мы можем ограничиться рассмотрением только значений , для которых , т.е. рассмотрением функции в ограниченной замкнутой области, а в такой области непрерывная функция имеет минимум.
Итак, существование линейной комбинации , дающей наилучшую аппроксимацию элемента х, доказано.
Строго нормированное пространство.
Возникает вопрос, когда выражение , дающее наилучшую аппроксимацию элемента х, будет единственным для ?
Указанная единственность во всяком случае имеет место тогда, когда пространство Е строго нормировано, т.е. когда в неравенстве , знак “=” достигается только при , .
В самом деле, допуская, что пространство Е строго нормировано, предположим, что элемент х имеет два выражения: и наилучшего приближения, причём g1,g2...gn линейно независимы.
где, как легко видеть, можно принять, что и, поскольку
, то
, и, значит,
Следовательно, в силу строгой нормированности пространства: .
В этом соотношении должно =1, т.к. в противном случае элемент х был бы линейной комбинацией элементов g1,g2...gn и, значит, было бы . Но если , то
и, значит, , т.к. элементы g1,g2...gn линейно независимы. Таким образом, рассматриваемые выражения- тождественны.
Примером строго нормированного пространства является пространство Н, а также Lp при р>1, но пространства С и L не являются строго нормированными.
Действительно, возьмём интервал [-1,1] и две линейно независимые функции x(t) и y(t) , модули которых принимают свои максимальные значения в одной и той же точке интервала, причём arg x( )=arg y( ).
Тогда очевидно, . Чтобы доказать, что не есть строго нормированное пространство, достаточно взять x(t)=1, при и x(t)=0, при t0 вытекает, что детерминант Грама всегда больше либо равен нулю, причём он обращается в нуль тогда и только тогда, если между векторами есть линейная зависимость (в частности, если один из векторов равен нулю).
1.3. Первая теорема Вейерштрасса.
Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным пространстве Е. Теперь рассмотрим пример линейного нормированного пространства- пространство С.
Пространство С: совокупность всех непрерывных функций x=x(P) от точки Р в ограниченном замкнутом множестве обычного пространства любого числа измерений- это есть линейное нормированное пространство.
Из теоремы в применении к пространству вытекает следующий факт: пусть f(x)- непрерывная функция в конечном интервале [a,b]; тогда при любом n существует полином , который среди полиномов n-й степени наименее уклоняется от f(x), в том смысле, что , где Qn(x)- произвольный полином n-й степени. Ясно, что .
Теперь докажем, что при . Это утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса (1885), которая гласит:
если f(x) непрерывна в конечном замкнутом интервале [a,b], то всякому можно сопоставить полином Pn(x) степени n=n( ), для которого во всём интервале [a,b] имеет место неравенство .
Не нарушая общности, примем, что а=0, b=1. Приведём доказательство С.П.Бернштейна.
Для этого построим полином , и докажем, что равномерно во всём интервале [0,1] . Напишем тождества:
(1); ;
, из которых последите два получаются дифференцированием по р соотношения:
. Из написанных тождеств вытекает, что (2).
Умножая (1) на f(x) и отнимая Bn(x), получим, что
, где суммирование в распространено на те значения к, для которых , а суммирование в - на остальные значения к.
Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0,1], и, значит, ограничена: во всём этом интервале, то
А это выражение на основании (2): , с другой стороны, , где , и, значит, при .
Окончательно: , что и доказывает теорему Вейерштрасса.
Заметим, что если Pn(x) равномерно стремится к f(x) при , то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд.
Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале [a,b] функция f(x) может быть разложена в равномерно сходящийся при ряд, члены которого- полиномы.
1.4. Вторая теорема Вейерштрасса.
Она относится к периодическим непрерывным функциям:
Если F(t)- непрерывная функция с периодом 2 , то каково бы ни было число , существует тригонометрическая сумма , n=n( ), которая для всех t удовлетворяет неравенству:
.
|
|