Лекции по общей алгебре
Лекция 1
Понятие бинарной алгебраической операции
Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция (АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.
Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка ,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства.
Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из них.
Свойство ассоциативности
(1)
Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за исключением операции вычитания и операции векторного произведения.
Из свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении расставлены скобки, например
Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.
Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого элемента с натуральным показателем. А именно:
(n сомножителей).
При этом выполняются обычные правила действий со степенями:
,
Свойство коммутативности
(2)
Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для умножения матриц и композиции перестановок.
Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении любого их числа.
Кроме того, в этом случае
Наличие нейтрального элемента
(3)
Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).
Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции умножения - число единица. Для умножения матриц нейтральным элементом будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент отсутствует.
Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности, то есть элемент n не зависит от выбора x.
В случае существования единственного нейтрального элемента и ассоциативности операции можно определить степень с нулевым показателем:
для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом сохраняются.
Наличие обратного элемента
Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции (*).
Элемент называется обратным для элемента x, если
(4)
Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный элемент равен обратной матрице и существует в том случае, если эта матрица невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.
Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия (4) сразу вытекает, что элемент всегда обратим и обратным для него будет исходный элемент x. Кроме того в случае ассоциативной операции произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при этом . В самом деле: и аналогично
Если элемент определен однозначно, можно определить степени x с отрицательным целым показателем, а именно:
, где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со степенями.
Замечание
В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина «обратный» используется термин «противоположный элемент», который, естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его кратных (nx).
Понятие группы
Определение
Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:
1. Операция (*) ассоциативна.
2. Для операции существует нейтральный элемент.
3. Все элементы G обратимы.
Примеры групп
1. R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)
2. C - аддитивная группа комплексных чисел.
3. - группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)
4. - мультипликативная группа комплексных чисел.
5. - группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )
6. - группа перестановок множества 1,2, ..., n.
Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.
Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.
1. Закон сокращения
(левое сокращение)
(правое сокращение)
Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.
y=z.
2. Единственность нейтрального элемента
В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если и оба являются нейтральными, то по определению
и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться или просто e.
3. Единственность обратного элемента
Для каждого элемента x обратный элемент определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.
4. Признак нейтрального элемента
Действительно, поскольку , имеем , откуда по закону сокращения получаем .
5. Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)
. Элемент z определен однозначно. (Его можно назвать «частным» от деления y на x).
Имеем: и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .
Понятие подгруппы
Определение
Группа называется подгруппой группы , если, во первых
(как подмножество) и, во-вторых,
(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)
Тот факт, что является подгруппой в обозначается с помощью символа включения: или просто .
Примеры подгрупп.
1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.
2. Четные перестановки образуют подгруппу в группе всех перестановок.
3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе всех невырожденных матриц.
Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :
1.
2.
3. .
Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.
Признак подгруппы
Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:
. (5)
Доказательство.
Условие (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим , то есть условие 1.