Т.Сумма смежных углов = 180
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А В В А А В
С Д Д
Д С С
ВАС ДСА внутр. одностор. (1рис)
ВАС ДСА внутр. накрест лежащ. (2)
ЕАВ АСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. =, то прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,прямые| |.
Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. 1=2
Но 1=3 (вертикальные)3=2.Но 2 и 3-накрестлежщие.По Т 1 a | | b
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. =180, то прямые | |
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие =, со-
ответств.=, сумма внутр.одност=180.
Перпедикулярные пр-е пересек-ся 90.
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки ( данной прямой) можно опустить перпендикуляр на данную прямцю и только 1.
3. две прямые 3-й параллельны.
4. Если прямая 1-й из | | прямых, то она и другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180/n); r = a / 2 tg (180)
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждого пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. пересек. в 1 тчке -
центр впис. Круга.
4. Все 3 , восстановленные из середин сторон , пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя линия | | и = ½ основания
H(опущ. на стор. a) = 2√p(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = ½ √ 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2√ bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
a²=b²+c²-2bx, х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства : 2=, если = сотв.
1. 2 стороны и между ними.
2. 2 и сторона между ними.
3. 2 и сторона, противолеж. 1-му из
4. три стороны
5. 2 стороны и , лежащий против большей из них.
Прямоугольный C=90° a²+b²=c²
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний H= √3 * a/2
S = ½ h a =½ a b sin C
Параллелограмм
d²+d`²=2a²+ 2b²
S =h a=a b sinA(между а и b)
= ½ d d` sinB (между d d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =½uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a²sinA= ½ d d`
Окружность L= Rn° / 180°,n°-центр
Т.Впис.= ½ L , L-дуга,на ктрую опир
S(cектора)= ½ R²= R²n° / 360°
Векторы.. Скалярное произведение
аb=|a| |b| cos (a b),
|a| |b| - длина векторов
Скалярное произведение |a|{x`; y`} и |b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, =
|a| |b| = x` y` + x`` y``
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия ()
3. Симм. Отн-но плоскости ()
4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все точки оси переходят сами в себя
- любая точка А оси р АА` так, что
А и А` , р, АОА` = = const, О- точка пересеч. и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)(x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва подобия.
1. АВС(а); A`B`C` (a`)
2. (p) (p`); [p)[p`); `; AA`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = k² S``; V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т. Если прямая, к.-л. плоскости , | | к.-л. прямой, , то она | |
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й | | двум пересек. прямым другой , то | | .
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть .
Т. 2 к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых , то и другая плоскости.
Т. Признак 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через к др. п-сти, то он этой л-сти.
Дано [a) ,[a) , = (p).Д-ть:
Док-во. [a) =•М. Проведем (b) через М, (b)(p). (a)(b) - линейный двугранного угла между и . Так как [a) (a)(b) (a)(b)=90°
Т. Если 2 пл-сти взаимно , то прямая
1-й пл-сти линии пересеч. пл-стей, 2-й пл-сти.
Т. О 3-х .. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн a - прямая призма
a - боковое ребро , S пс- S -го сечения
V = S пс а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех .
Фигуры вращения
Цилиндр V=R²H; S= 2R (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * R²H
S= Sосн+ Sбок= R (r + L); L-образующая
Сфера «оболочка» S= 4R²
Шар М= 4/3 R3