Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную  |  Добавить в избранное  

Математика /

Производная

Документ 1 | Документ 2 | Документ 3 | Документ 4 | Документ 5 | Документ 6

Касательная к графику функции

Касательная

График дифференцируемой в точке х0 функции f вблизи х0 практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущейl, проходящей через точки(х0; f(х0)) и (х0 +∆x;f (х0+∆x)). Любая из таких секущих проходит через точку А(х0; f(х0)) графика( рис.1).

Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей при ∆х→0 стремится к числу f/( х0) -угловой коэффициент касательной.

Касательная есть предельное положение секущей при ∆х→0.

Если же функция не существует, то касательная либо не существует ( как у функции y= │x│в точке (0;0) рис.2), либо она вертикальна ( как у графика y=3√x в точке(0;0) рис.3

Итак, существованию производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию ( невертикальной) касательной в точке (х0; f (х0)) графика при этом угловой коэффициент касательной равен f/( х0). В этом и состоит геометрический смысл производной.

Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х0; f(х0)) и имеющая угловой коэффициент f/( х0).

Уравнение касательной

Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке А(х0; f(х0)).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом f/( х0) имеет вид:

y = f/ (х0) x +b

Для вычисления b воспользуется тем, что касательная проходит через точку А:

f (х0) = f/ (х0) x0 + b , откуда b= f (х0) - f/ (х0) x0

значит, уравнение касательной таково:

у= f/ (х0) x - f/ (х0) x0 + f (х0)

или

y= f (х0)+ f/ (х0)(x-x0)




Copyright © 2005—2007 «Mark5»