Касательная к графику функции
Касательная
График дифференцируемой в точке х0 функции f вблизи х0 практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущейl, проходящей через точки(х0; f(х0)) и (х0 +∆x;f (х0+∆x)). Любая из таких секущих проходит через точку А(х0; f(х0)) графика( рис.1).
Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей при ∆х→0 стремится к числу f/( х0) -угловой коэффициент касательной.
Касательная есть предельное положение секущей при ∆х→0.
Если же функция не существует, то касательная либо не существует ( как у функции y= │x│в точке (0;0) рис.2), либо она вертикальна ( как у графика y=3√x в точке(0;0) рис.3
Итак, существованию производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию ( невертикальной) касательной в точке (х0; f (х0)) графика при этом угловой коэффициент касательной равен f/( х0). В этом и состоит геометрический смысл производной.
Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х0; f(х0)) и имеющая угловой коэффициент f/( х0).
Уравнение касательной
Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке А(х0; f(х0)).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом f/( х0) имеет вид:
y = f/ (х0) x +b
Для вычисления b воспользуется тем, что касательная проходит через точку А:
f (х0) = f/ (х0) x0 + b , откуда b= f (х0) - f/ (х0) x0
значит, уравнение касательной таково:
у= f/ (х0) x - f/ (х0) x0 + f (х0)
или
y= f (х0)+ f/ (х0)(x-x0)
|
|