Пьер Ферма

Содержание

Вступление 2

Основная часть 2

БИОГРАФИЯ 2

МАТЕМАТИКИ ПРОТИВ ФЕРМА 3

«ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ» 8

ПРИНЦИП ФЕРМА 11

МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА 12

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА 12

«ВЕРНА ИЛИ НЕ ВЕРНА?» 14

Заключение 18

Литература 19

Быть может, потомство будет признательно мне

за то, что я показал ему, что Древние знали не все

Пьер Ферма

Вступление

В своей работе я хочу рассказать о Пьере де Ферма. Я обратил внимание на личность именно этого математика, потому что вокруг его деятельности ходило колоссальное число загадок и легенд.

Основная часть

БИОГРАФИЯ

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец – Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать – Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дю-ма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Ма-ленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне (во Фран-ции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать зна-чимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний матема-тик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики нового времени.

Ферма почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей ма-тери Луизе де Лон, дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослу-жился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сосло-вия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францискан-ским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад, в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трак-татов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не пу-тешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судов предписывалось вести замк-нутую жизнь, избегая любых проявлений публичности. Вероятно Ферма, считая себя со-лидным человеком, стеснялся своей страсти к формальным досужим играм. На склоне лет наш герой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким уп-ражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я делаю мало различия ме-жду человеком, который занимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией, и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в нее все силы...”. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямы-ми”. Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма умирает в Кастре близ Тулузы 12 января 1665.

МАТЕМАТИКИ ПРОТИВ ФЕРМА

Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зре-лом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, поли-глот, знаток права и античной филологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по алгебраи-ческой топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Первый систематический прием для отыскания экстремумов (от лат. extremum «крайнее») Ферма изложил в своей работе «Метод исследования максимумов и минимумов». Эта ра-бота была частично опубликована в 1642-1644 гг., а полностью - в 1779г., после смерти ее автора. Из писем Ферма стало, однако, известно, что своим методом он владел уже в 1629г.

Этот метод, имеющий инфинитезимальный характер (т.е. основанный на рассмотре-нии бесконечно малых), Ферма впервые применил к функции

(1)

a) Пусть есть бесконечно малое приращение независимой пере-менной ; тогда новое значение функции (1) будет

. (2)

Для выражения «принципа остановки», т.е. того факта, когда функция, достигая максиму-ма или минимума, как бы останавливается в своем изменении (на современном языке - скорость изменения, т.е. производная, равна 0), Ферма приравнивает (1) и (2):

. (3)

Раскрывая скобки и сокращая на h: . Ввиду того что бесконечно малое h исчезает перед конечным (по существу это молчаливый предельный переход при ), то

.

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования мак-симумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгеб-раический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начи-нает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну: ”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно;...Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за последние пять-шесть лет....Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свобо-ден и более далек, чем любой другой человек на свете”.

Кто такой отец Мерсенн? Это францисканский монах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 лет возглавлявший парижский математиче-ский кружок, который стал подлинным центром французской науки. В последствии кру-жок Мерсенна указом Людовика XIV будет преобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку, и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода “почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появи-лись значительно позже. Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли самые блестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди и, конечно же, знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья, основопо-ложник картезианства, “отец” аналитической геометрии, один из основателей новой ма-тематики, а так же друг и товарищ Мерсенна по иезуитскому колледжу. Этот замечатель-ный человек станет кошмаром для Ферма.

Мерсенн счел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввести провинциа-ла в свой элитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку со многими членами кружка и буквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того, он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи: “Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя - “Способ отыскания максимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагал Ферма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники не содрогнулись. Они мало, что поняли, но зато нашли однозначные указание на то, что идея алгоритма максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с за-бавным названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения Кеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны от места наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малости при-ращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась в воздухе. Лучшие аналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью арифметики, то есть математикой второго сорта, примитивным подручным средством, разработанным для нужд низменной практики (“хорошо считают только торговцы”). Традиция предписывала придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма пер-вый понял, что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков.

Понадобилось почти столетие,