←предыдущая следующая→
1 2
Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
§1. Основные понятия
Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).
Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.
Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2, выполняется условие f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться “значение функции в точке х1”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.
Пусть — некоторое положительное число. -окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 , x0 + ), кроме самой точки x0. Принадлежность точки x окрестности точки можно выразить с помощью двойного неравенства
0 < x – x0 < .
Число называется радиусом окрестности.
§2. Предел и непрерывность функции
Рассмотрим функцию y = x2 в точке x0 = 2. Значение функции в этой точке равно 4.
Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно
выбрать какое-либо положительное число и построить -окрестность точки y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке 1 эта окрестность имеет радиус ) , что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x2, попадет в -окрестность точки y0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа . Здесь точка x0 = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.
Рассмотрим функцию . Эта функция не определена в точке x0 = 2. При x0 2 её можно преобразовать:
.
График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число , можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x0 = 2, причем радиус этой окрестности зависит от ), то соответствующие значения y попадут в -окрестность точки y0 = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число .
Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x из -окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в -окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x, удовлетворяющих условию
0 < x – x0 < ,
выполняется условие
y – A < .
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой
.
Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x0, не требуется, чтобы она была определена в этой точке.
Рассмотрим функцию . Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; если x < 0, то y = –2x; при x = 0 функция не определена.
График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: .
Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.
Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.
Приведем свойства предела функции.
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. , если C — постоянная функция.
3. Если существует и C — постоянная функция, то
.
4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует , равный .
Введем определения так называемых “односторонних пределов”.
Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа найдется положительное число , такое что из из условия 0 < x – a < будет следовать B –f(x) < .
Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.
Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что из условия 0 < b – x < будет следовать C – f(x) < .
Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:
; .
Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если
( ).
Функция непрерывна справа в точке x=0.
Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.
Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.
Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:
;
В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на полубесконечном промежутке (х0; ). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:
,
если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:
f(x) – A < .
Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке
(–; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:
,
если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:
f(x) – A < .
Отметим два, так называемых, "замечательных предела".
1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке .
2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST. Определим величину r относительного роста формулой
. (1)
Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.
Из формулы (1) легко определить величину ST:
ST = S0(1 + r)
При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S0 возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз возрастает сумма S1 = S0(1 + r), то есть S2 = S0(1 + r)2. Аналогично получается S3 = S0(1 + r)3. Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов:
Sn = S0(1 + r)n.
В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка r и количество начислений за год k. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка Tk составляет часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле
(2)
Здесь — целая часть числа , которая совпадает с самим числом, если, например, T целое число.
←предыдущая следующая→
1 2