Устойчивость “в малом” и “ в большом”. Связь критерия Попова с методами Ляпунова.
Пусть линейная система устойчива в секторе (0, К)-см рис. 5.9; начальная часть нелинейной характеристики, соответствующая , лежит внутри этого сектора, а при выходе х за указанные пределы выходит за пределы сектора. Очевидно, что в данном случае нельзя утверждать, что равновесие системы будет абсолютно устой-чиво, т.е. устойчиво в целом при любых f(l), но мы можем утверждать, что при таких , которые вызывают отклонение х, не выхо-дящее за пределы (-х2, х1), будет имеет место устойчивость положе-ния равновесия в большом и, конечно, устойчивость в малом.
С помощью критерия Попова легко можно пояснить, когда приме-ним первый метод Ляпунова. Заменим нелинейную характеристику в точке равновесия касательной (рис. 5-10). Если линейная система ус-тойчива (а не находится на границе устойчивости), то небольшой подъем луча 0К в положение 0К1 не нарушит устойчивости, то при этом начальная часть нелинейной характеристики попадает внутрь сектора (0, К1), и равновесие нелинейной системы будет устойчивым в малом.
рис. 5-9. рис. 5-10.
Если же мы имеем критический случай, то касательная является гра-ницей сектора, внутри которого линейная система устойчива, и мы не можем судить об устойчивости равновесия нелинейной системы.
Функция Ляпунова может быт построена различными способами для одной и той же системы. Для каждой такой частной функции Ля-пунова можно построить свою область устойчивости в пространстве параметров, но каждая такая область не будет истинной областью ус-тойчивости, поскольку второй метод Ляпунова дает лишь достаточное условие устойчивости.
Р. Калман показал, что область устойчивости, даваемая критери-ем Попова, будет огибающей для всех областей устойчивости, опре-деляемых функциями Ляпунова вида “квадратичная форма плюс не-линейность”, т.е. будет шире и ближе к истинной области устойчиво-сти, чем любая из областей устойчивости, определяемая по функции Ляпунова заданной формы.
Большим преимуществом метода Попова является то, что он без особых затруднений распространяется на системы с запаздыванием и распределенными параметрами, а также на некоторые классы им-пульсных систем управления.
Рассмотренные критерии - квадратичный, вытекающий и него кру-говой и критерий Попова - различаются степенью подробности учета специфических особенностей нелинейных характеристик, что отража-ется на ширине области устойчивости, даваемой тем или иным крите-рием, т.е. лучшим критерием является тот, который дает более широ-кую область устойчивости.
Если сравнивать круговой критерий с методом Попова, то первый дает более узкую область устойчивости, если исследуется класс ста-ционарных нелинейностей, но зато охватывает более широкий класс нелинейностей.