1. Общая постановка задачи управляемости.
Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический объект- объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого динамического объекта в момент времени характеризуется параметрами . Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор- фазовый вектор.
Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров - параметры управления, u(t)- вектор управления. Положение объекта зависит только от того, какое управление было до момента времени , и не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.
Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением
1) - эта система решается приближенным методом.
2) x(t) должны принадлежать , . Класс допустимых управлений x(t), не можат быть произвольным. , как правило мн-во замкнуто и ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления, кроме этого на могут быть наложены ограничения по времени.
3)Начальное и конечное состояние объекта. на интервале , , .Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект, описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за промежуток времени , из состояния .Это может быть достигнуто разными способами.
4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида . Находим такие , что
2. Основные вопросы в теории ОУ.
1) 1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из состояния , за промежуток времени .
2) Существует ли ОУ.
3) Необходимые условия оптимальности- принцип максимума Понтрягина.
4) Достаточные условия ОУ.
5) Единственность ОУ.
3. Постановка линейной задачи.
Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , , -замкнуто и ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления - перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время.
4. Пространство , алгебраическая сумма , произведение множества на число .
Пространство -пространство состоящее из всевозможных не пустых компактных подмножеств пр-ва .
Мн-во F компактное, если оно замкнуто и ограничено.
Мн-во F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.
Мн-во F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.
Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка мн-ва F отличная от f.
Операции:1) алгебраической суммой наз. мн-во C такое, что любой элемент , .
2) произведением множества на число наз. мн-во C такое, что любой элемент .
5. , хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.
-это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где .
Хаусдорффова норма- это расстояние между мн-ми A и B:
-расстояние между мн-ми A и B ( ) явл. наименьшее положительное число r.
Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма
6. Опорные функции.
Задано множество и вектор . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом , где C опорная функция. ,
, .
, .
Пусть -некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: . В этом случае наз. опорным вектором мн-ва F в точке . А совокупность всех векторов наз. опорным множеством к множеству F в направлении .Гиперплоскость - наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении . Гиперплоскость разбивает на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно , т.к. для всех точек выполняется неравенство . Если считать, что - единичный вектор, ,
. опорных
7. Свойства опорной функции.
1. Опорные функция- положительно однородная по переменной .
. Это значит что , .
2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству: 3. Два множества и , , Пусть матрица A размера n на n, и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.
.
4. ,где -матр. сопряженная с матр. .
5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. , . Пусть и пользуемся : 1) условием однородности: 6. Пусть задано множество и его опорная фун. . Выпуклая оболочка мн-ва F
, .
7. Если и A=B, то опорная фун. . И наоборот, если ,то . Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.
8. Если и . В этом случае . Если ,то . Следствие: Выпуклые мн-ва тогда и только тогда, когда равны их опорные функции .
9. Пусть задано множество , тогда . В обратную сторону: , когда . Следствие: Точка выпуклому мн-ву , тогда и только тогда , когда .
10. Пусть задано множество , а , тогда . . Следствие: Пусть задано множество , , тогда и только тогда, когда .
и если , то . И наоборот: Если ,то .Следствие: Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда .
8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.
Пусть -два метрических пространства с метриками и пусть f отображает . f непрерывна в точке , если такое что Условие Липшица: Функция f, отображающая , удовлетворяет условию Липшица с const L , если для любых двух точек , выполняется неравенство ,для опорных функций , , :
Лемма: Опорная функция удовлетворяет условию Липшеца по f с const L= .
Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма
9. Многозначные отображения.
Многозначным отображением будем называть функцию у которой аргументом является число, а значением некоторые множества
10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.
Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке , если для .
Лемма: Пусть непрерывное многозначное отображение , когда непрерывна по t при всяком фиксированном , более того равномерно непрерывно по t .
Если равномерно непрерывно по t , то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.
11. Измеримые многозначные отображения. Лемма о равномерной непрерывности многозначного отображения.
Функция f(t) отображающая в некоторое метрическое пр-во с метрикой называется измеримой, если праобраз любого шара есть мн-во измеримое.
12. Интеграл от многозначного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отображения.
F-многозначное отображение, такое что F: I , где , -замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G ) вида: . Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 3: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда непрерывна на отр. I .
Опорная функция , где F , .