4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D ( ) = n + a1 n-1 + a2 n-2 + ... + an = 0. (13)
Зная его корни 1 , 2 , ... , n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D ( ) = ( - 1 ) ( - 2 ) ... ( - n ). (14)
Im Im
0 Re 0 Re
а) б)
Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней и i ;
б - для четырех корней 1 , ‘1 , 2 , ‘2
Графически каждый комплексный корень можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( - i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что = j ; тогда определяющей является точка на мнимой оси (рис.12,б). При изменении от - до + векторы j - 1 и j - ‘1 комплексных корней и ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + , а векторы j - 2 и j - ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - . Таким образом, приращение аргумента arg( j - i ) для корня характеристического уравнения i , находящегося в левой полуплоскости, составит + , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - . Приращение результирующего аргумента arg D( j ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
arg D( j ) = ( n - m ) - m = ( n - 2m ) . (15)
- < < для левой для правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j ) = ( j )n + a1 ( j )n-1 + a2 ( j )n-2 + ... + an (16)
содержит лишь четные степени , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому
arg D ( j ) = - arg D ( -j ), (17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале от 0 до . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена
arg D( j ) = ( n - 2m ) / 2 . (18)
0 <
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента
arg D( j ) = n / 2 . (19)
0 <
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).
j V’ j V’
0 U’ 0 U’
а) б)
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:
а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.