Количественная оценка информации

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ИНФОРМАЦИИ

Общее число неповторяющихся сообщений, которое может быть составлено из алфавита m путем комбинирования по n символов в сообщении,

. (1)

Неопределенность, приходящаяся на символ первичного (кодируемого) алфавита, составленного из равновероятностных и взаимонезависимых символов,

. (2)

Основание логарифма влияет лишь на удобство вычисления. В случае оценки энтропии:

а) в двоичных единицах

б) в десятичных единицах

где ;

в) в натуральных единицах

где

Так как информация есть неопределенность, снимаемая при получении сообщения, то количество информации может быть представлено как произведение общего числа сообщений к на среднюю энтропию Н, приходящуюся на одно сообщение:

(3)

Для случаев равновероятностных и взаимонензависимых символов первичного алфавита количество информации в к сообщениях алфавита m равно

а количество информации в сообщении, составленном из к неравновероятностных символов,

(5)

Для неравновероятностных алфавитов энтропия на символ алфавита

(4)

При решении задач, в которых энтропия вычисляется как сумма произведений вероятностей на их логарифм, независимо от того, являются ли они безусловными , условными или вероятностями совместных событий .

Количество информации определяется исключительно характеристиками первичного алфавита, объем – характеристиками вторичного алфавита. Объем информации

(6)

где lср – средняя длина кодовых слов вторичного алфавита. Для равномерных кодов (все комбинации кода содержат одинаковое количество разрядов)

где n – длина кода (число элементарных посылок в коде). Согласно (3), объем равен количеству информации, если lср=Н, т.е. в случае максимальной информационной нагрузки на символ сообщения. Во всех остальных случаях .

Например, если кодировать в коде Бодо некоторые равновероятный алфавит, состоящий из 32 символов, то

Если закодировать в коде Бодо русский 32-буквенный алфавит, то без учета корреляции между буквами количество информации

т.е. если в коде существует избыточность и , то объем в битах всегда больше количества информации в тех же единицах.

Тема 2. Условная энтропия и энтропия объединения

Понятие условной энтропии в теории информации используется при определении взаимозависимости между символами кодируемого алфавита, для определения потерь при передаче информации по каналам связи, при вычислении энтропии объединения.

Во всех случаях при вычислении условной энтропии в том или ином виде используются условные вероятности.

Если при передаче n сообщений символ А появился m раз, символ В появился l раз, а символ А вместе с символом В – к раз, то вероятность появления символа А ; вероятность появления символа В ; вероятность совместного появления символов А и В ; условная вероятность появления символа А относительно символа В и условная вероятность появления символа В относительно символа А

(7)

Если известна условная вероятность, то можно легко определить и вероятность совместного появления символов А и В, используя выражения (7)

(8)

От классического выражения (4) формула условной энтропии отличается тем, что в ней вероятности – условные:

(9)

(10)

где индекс i выбран для характеристики произвольного состояния источника сообщения А, индекс j выбран для характеристики произвольного состояния адресата В.

Различают понятия частной и общей условной энтропии. Выражение (9) и (10) представляют собой частные условные энтропии.

Общая условная энтропия сообщения В относительно сообщения А характеризует количество информации, содержащейся в любом символе алфавита, и определяется усреднением по всем символам, т. е. по всем состояниям с учетом вероятности появления каждого из состояний, и равна сумме вероятностей появления символов алфавита на неопределенность, которая остается после того, как адресат принял сигнал

(11)

Выражение (11) является общим выражением для определения количества информации на один символ сообщения для случая неравномерных и взаимонезависимых символов.

Так как представляет собой вероятность совместного появления двух событий , то формула (11) можно записать следующим образом:

(12)

Понятие общей и частной условной энтропии широко используется при вычислении информационных потерь в каналах связи с шумами.

В общем случае, если мы передаем m сигналов А и ожидаем получить m сигналов В, влияние помех в канале связи полностью описывается канальной матрицей, которую мы приводим ниже:

В

А

b1 b2 … bj … bm

а1

а2

…

аi

…

аm

…………………………………………………………..

……………………………………………………………

Вероятности, которые расположены по диагонали, определяют правильный прем, остальные – ложный. Значение цифр, заполняющих колонки канальной матрицы, обычно уменьшаются по мере удаления от главной диагонали и при полном отсутствии помех всех, кроме цифр, расположенных на главной диагонали, равны нулю.

Если описывать канал связи со стороны источника сообщений, то прохождение данного вида сигнала в данном канале связи описывается распределением условных вероятностей вида , так для сигнала распределением вида

(13)

(14)

(15)

(16)

В

А

b1 b2 … bj … bm

а1

а2

…

аi

…

аm

…………………………………………………………..

……………………………………………………………

(17)

(18)

(19)

тема 3. Вычисление информационных потерь при передаче сообщений по каналам связи с шумами

Потери информации в каналах связи с шумами обычно описывают при помощи условной энтропии и энтропии объединения.

Если помех нет или их уровень настолько низок, что они не в состоянии уничтожить сигнал или имитировать полезный сигнал в отсутствие передачи, то при передаче мы будем твердо уверены, что получим - сигнал, соответствующий переданному ai-му сигналу. События А и В статистически жестко связаны, условная вероятность максимальна , а условная энтропия

!!!!1

так как !!!!. В этом случаи количество информации, содержащейся в принятом ансамбле сообщений В, равно энтропии передаваемых сообщений ансамбля А, т.е. I(В, А) = Н (А).

При высоком уровне помех любой из принятых сигналов bj может соответствовать любому принятому сигналу ai, статистическая связь между переданными и принятыми сигналами отсутствует. В этом случае вероятности!!!!!! Есть вероятности независимых событий и !!!!!!

!!!!1

так как !!11, т.е. условная энтропия равна безусловной, а количество информации, содержащейся в В, относительно А равно нулю:

!!!!

Информационные характеристики реальных каналов связи лежат между этими двумя предельными случаями. При этом потери информации при передаче !! символов по данному каналу связи

!!!!!

Несмотря на то, что часть информации поражается помехами, между принятыми и переданными сообщениями существует статистическая зависимость. Это позволяет описывать информационные характеристики реальных каналов связи при помощи энтропии объединения статистически зависимых событий. Так как

!!!!1

то потери в канале связи могут быть учтены при помощи энтропии объединения следующим образом:

!!1!

а с использованием условной энтропии

!!!

Для вычисления среднего количества информации, содержащегося в принятом ансамбле сообщений В относительно передаваемого ансамбля сообщений А в условиях действия помех, пользуются следующими выражениями, выведенными непосредственно из выражения (25):

!!!!!!!!

Для вычисления часто удобно применять выражения (26-28) в виде

!!!!!!!

Для полного и всестороннего