Количественная оценка информации

основной теореме кодирования , средняя длина кодового слова приближается к энтропии источника сообщений по мере укрупнения кодируемых блоков.

Эффективность ОНК. оценивают при помощи коэффициента статистического сжатия:

(53)

который характеризует уменьшение количества двоичных знаков на символ сообщения при применении ОНК по сравнению с применением методов нестатистического кодирования и коэффициента относительной эффективности

(54)

который показывает, насколько используется статистическая избыточность передаваемого сообщения.

Для наиболее общего случая неравновероятных и взаимонезависимых символов

Для случая неравновероятных и взаимозависимых символов

ТЕМА 6. ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСПРАВЛЕНИЕ ОШИБОК В СООБЩЕНИЯХ

Понятие об идее коррекции ошибок

Для того чтобы в принятом сообщении можно было обнаружить ошибку это сообщение должно обладать некоторой избыточной информацией, позволяющей отличить ошибочный код от правильного Например, если переданное сообщение состоит из трех абсо¬лютно одинаковых частей, то в принятом сообщении отделение правильных символов от ошибочных может быть осуществлено по результатам накопления посылок одного вида, например 0 или 1. Для двоичных кодов этот метод можно проиллюстрировать следую¬щим примером:

10110 - переданная кодовая комбинация;

10010 - 1-я принятая комбинация;

10100 - -я принятая комбинация;

00110 - 3-я принятая комбинация;

10110 - накопленная комбинация.

Как видим, несмотря на то, что во всех трех принятых комбинациях были ошибки, накопленная не содержит ошибок .

Принятое сообщение может также состоять из кода и его инверсии. Код и инверсия посылаются в канал связи как одно целое. Ошибка на приемном конце выделяется при сопоставлении кода и его инверсии.

Для того чтобы искажение любого из символов сообщения привело к запрещенной комбинации, необходимо в коде выделить комбинации, отличающиеся друг от друга в ряде символов, часть из этих комбинаций запретить и тем самым ввести в код избыточность. Например, в равномерном блочном коде считать разрешенными кодовые комбинации с постоянным соотношением нулей и единиц в каждой кодовой комбинации. Такие коды получили название кодов с постоянным весом. Для двоичных кодов число кодовых комбинаций в кодах с постоянным весом длиной в п символов равно

(55)

где - число единиц в кодовом слове. Если бы не существовало условия постоянного веса, то число комбинаций кода могло бы быть гораздо большим, а именно . Примером кода с постоянным весом может служить стандартный телеграфный код № 3 (см. приложение 4). Комбинации этого кода построены таким образом, что на 7 тактов, в течение которых должна быть принята одна кодовая комбинация, всегда приходятся три токовые и четыре безтоковые посылки. Увеличение или уменьшение количества токовых посылок говорит о наличии ошибки.

Еще одним примером введения избыточности в код является метод суть которого состоит в том, что к исходным кодам добавляются нули либо единицы таким образом, чтобы сумма их всегда. была четной или нечетной. Сбой любого одного символа всегда нарушит условие четности (нечетности), и ошибка будет обнаружена. В этом случае комбинации друг от друга должны отличаться минимум в двух символах, т. е. ровно половина комбинаций кода является запрещенной (запрещенными являются все нечетные комбинации при проверке на четность или наоборот).

Во всех упомянутых выше случаях сообщения обладают избыточной информацией. Избыточность сообщения говорит о том, что оно могло бы содержать большее количество информации, если бьг не многократное повторение одного и того же кода, не добавление к коду его инверсии, не несущей никакой информации, если бы. не искусственное запрещение части комбинаций кода и т. д. Но все перечисленные виды избыточности приходится вводить для того, чтобы можно было отличить ошибочную комбинацию от правильной.

Коды без избыточности обнаруживать, а тем более исправлять ошибки не могут . Минимальное количество символов, в которых любые две комбинации кода отличаются друг от друга, называется кодовым расстоянием. Минимальное количество символов, в которых все комбинации кода отличаются друг от друга, называется минимальным кодовым расстоянием. Минимальное кодовое расстояние - параметр, определяющий помехоустойчивость кода и заложенную в коде избыточность. Минимальным кодовым расстоянием определяются корректирующие свойства кодов.

В общем случае для обнаружения r ошибок минимальное кодовое расстояние

(56)

Минимальное кодовое расстояние, необходимое для одновременного обнаружения и исправления ошибок,

(57)

где s - число исправляемых ошибок.

Для кодов, только исправляющих ошибки,

(58)

Для того чтобы определить кодовое расстояние между двумя комбинациями двоичного кода, достаточно просуммировать эти комбинации по модулю 2 и подсчитать число единиц в полученной комбинации.

Понятие кодового расстояния хорошо усваивается на примере построения геометрических моделей кодов. На геометрических моделях в вершинах n-угольников, где n-значность кода, расположены кодовые комбинации, а количество ребер n-угольника, отделяющих одну комбинацию от другой, равно кодовому расстоянию.

Если кодовая комбинация двоичного кода А отстоит от кодовой комбинации В на расстоянии d, то это значит, что в коде А нужно d символов заменить на обратные, чтобы получить код В, но это не означает, что нужно d добавочных символов, чтобы код обладал данными корректирующими свойствами. В двоичных кодах для обнаружения одиночной ошибки достаточно иметь 1 дополнительный символ независимо от числа информационных разрядов кода, а минимальное кодовое расстояние

Для обнаружения и исправления одиночной ошибки соотношение между числом информационных разрядов и числом корректирующих разрядов должно удовлетворять следующим условиям:

(59)

60)

при этом подразумевается, что общая длина кодовой комбинации

. (61)

Для практических расчетов при определении числа контрольных разрядов кодов с минимальным кодовым расстоянием удобно пользоваться выражениями:

(62)

если известна длина полной кодовой комбинации п, и

(63)

если при расчетах удобнее исходить из заданного числа информационных символов .

Для кодов, обнаруживающих все трехкратные ошибки

(64)

или

(65)

Для кодов длиной в п символов, исправляющих одну или две ошибки

(66)

Для практических расчетов можно пользоваться выражением

(67)

Для кодов, исправляющих 3 ошибки

(68)

Для кодов, исправляющих s ошибок

(69)

Выражение слева известно как нижняя граница Хэмминга [16], а выражение справа – как верхняя граница Варшамова – Гильберта [3]

Для приближенных расчетов можно пользоваться выражением

(70)

Можно предположить, что значение будет приближаться к верхней границе в зависимости от того, насколько выражение под знаком логарифма приближается к целой степени двух.

Линейные групповые коды

Линейными называются коды, в которых проверочные символы представляют собой линейные комбинации информационных символов.

Для двоичных кодов в качестве линейной операции используют сложение по модулю 2.

Правила сложения по модулю 2 определяются следующими равенствами:

Последовательность нулей и единиц, принадлежащих данному коду, будем называть кодовым вектором.

Свойство линейных кодов: сумма (разность) кодовых векторов линейного кода дает вектор, принадлежащий данному коду.

Линейные коды образуют алгебраическую группу по отношению к операции сложения по модулю 2. В этом смысле они являются групповыми кодами.

Свойство группового кода: минимальное кодовое расстояние между кодовыми векторами группового кода равно минимальному весу ненулевых кодовых векторов.

Вес кодового вектора (кодовой комбинации) равен числу его ненулевых компонентов.

Расстояние между двумя кодовыми векторами равно весу вектора, полученного в результате сложения исходных векторов по модулю 2. Таким образом, для данного группового кода

.

Групповые коды удобно задавать матрицами, размерность которых определяется параметрами кода и . Число строк матрицы равно , число столбцов равно + = :

(71)

Коды, порождаемые этими матрицами, известны как -коды, где , а соответствующие им матрицы называют