Программа Mathematics

Борис Манзон

Едва исчезли со страниц журналов восторженные от¬зывы на новую версию математического пакета Maple V 4.0 компании Maple Waterloo, как компания Wolfram Research представила не менее интересный продукт — Mathematica 3.0.

Немного истории для тех, кто недостаточно хорошо знаком с этой программой.

Она разработана компанией Wolfram Research Inc , ос¬нованной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы, появившаяся в 1988 г, стала но¬вым словом в автоматизации математических расчетов.

Mathematica отличается охватом широкого круга задач, так как ее разработчики задались целью объединить все из¬вестные математические методы, использующиеся для ре¬шения научных задач, в унифицированном и согласован¬ном виде, включая аналитические и численные расчеты.

За основу был взят специально разработанный язык символьного программирования, который способен опе¬рировать очень широким спектром различных объектов с применением небольшого числа базисных конструкций. ^ ^Однако программа не приобрела большой популярнос¬ти из-за того, что ее сложно было освоить и невозможно работать без использования объемной документации. Только в 1991 г., после выхода в свет второй версии, в кото¬рой разработчики устранили многие ошибки предыдущей версии, а также применили более дружелюбный интерфейс и включили подсказки по встроенным функциям, про¬грамма начала быстро завоевывать популярность. А к мо¬менту выхода Mathematica 3.0 уже было зарегистрировано более миллиона постоянных пользователей программы.

Mathematicà дает возможность специалистам решать большое количество достаточно сложных задач, не вдаваясь в тонкости программирования. Благодаря этому про¬грамма получила широкое распространение в таких областях, как физика, биология, экономика. Программа так¬же применяется как для выполнения, так и для оформления инженерных проектов.

Mathematica является важным инструментом при раз¬работке программного обеспечения. Она может быть мо¬дернизирована самим пользователем, так как on носится к открытым программным продуктам Была. разработана примерно сотня профессиональны» приложений, рас¬ширяющих возможности системы применительно к кон¬кретным областям деятельности.

Программа Mathematica наряду с программами Maple, MatLab и MathCad применяется в качестве базис¬ной для построения курса математики во многих высших как технических, так и гуманитарных учебных заведени¬ях Несколько периодических икании и более двухсот книг посвящено этой программе.

Интерфейс

Программа состоит из двух частей — ядра, которое, собственно, и производит вычисления, выполняя заданные команды, и интерфейсного процессора, который определяет внешнее оформление и характер взаимодействия с пользователем и системой. Основной рабочий документ программы — тетрадь, в которой поль¬зователь записывает все выкладки. Вид рабочей тетради на экране монитора зависит от интерфейсного процес¬сора, реализация которого для разных платформ не¬сколько отличается.

Пользовательский интерфейс программы Mathemati¬ca 3.0 сначала кажется несколько примитивным: инстру¬ментальная панель — это просто строка меню, а отдельное окно документа выглядит как бы подвешенным . Кроме того, на инструментальной панели отсут¬ствуют кнопки для выполнения часто повторяемых опе¬раций, которые были в предыдущей версии.

Однако впечатление примитивности интерфейса сра¬зу же исчезает, когда выясняется, что можно подключать настраиваемые кнопочные палитры, которых в програм¬ме имеется больше десятка . С их помо¬щью можно выполнять различные функции, а часть кно¬пок соответствует специальным символам. Всего в про¬грамме более 700 математических, языковых и других символов. При нажатии на кнопки с символом послед¬ний переносится в рабочий документ на указанное кур¬сором мести. Другие кнопки палитры соответствуют наи¬менованиям ряда функций программы, которые при вы¬боре вводятся в командную строку. При нажатии кнопки алгебраических преобразований предварительно выде¬ленное алгебраическое выражение трансформируется в соответствии с названием выбранной команды, напри¬мер упрощается командой simplify.

Программа позволяет применять различные стили для оформления документа на экране и вывода его на пе¬чать, причем в новой версии стилей может быть значи¬тельно больше, чем в предыдущей. Для их изменения предусмотрена специальная палитра.

Программа дает возможность отображать математи¬ческие символы с достаточно высоким полиграфическим качеством в тексте на экране, в командах, а также при вы¬воде на печать . Увеличено количество опций. Возможно создание гипертекстовых связей.

Рабочую тетрадь можно сохранять в HTML-формате, а также в формате полиграфического языка LaTex и неко¬торых других.

Усовершенствована и расширена система подсказок, имеется интерактивный доступ к полному тексту элек¬тронной версии документации, которая состоит из инст¬рукции пользователя, справочника по стандартным до¬полнениям, учебника для начинающих и демонстраци¬онных файлов.

Меню окна справки очень хорошо продума¬но, что позволяет получить информацию различными путями. Можно получить справку по интересующей теме или функции, а также просмотреть текст всех документов, содержащих введенное ключевое слово.

Аналитические расчеты

Умение проводить аналитические расчеты — одно из главных достоинств этой программы, автоматизирующей математические расчеты. Mathematica умеет преобразо¬вывать и упрощать алгебраические выражения, диффе¬ренцировать и вычислять определенные и неопределен¬ные интегралы, вычислять конечные и бесконечные сум¬мы и произведения, решать алгебраические и дифферен¬циальные уравнения и системы, а также разлагать функ¬ции в ряды и находить пределы .Кроме того, Mathematica имеет стандартные дополнения для аналитических рассчетов, которые будут рассмотрены ниже.

Следует заметить, что возможности каждой новой вер¬сии программы качественно возрастают. В версии 3.0 про¬граммы команда упрощения алгебраических выражений Simplify дополнена значительно более мощной командой FullSimplify, которая позволяет обрабатывать математи¬ческие выражения, включающие специальные функции

Расширен спектр математических выражений, для ко¬торых аналитически находятся неопределенные и опреде¬ленные интегралы. Появилась также возможность задавать область изменения параметров в подынтегральных выра¬жениях, что позволяет интегрировать многие выражения, которые в общем случае не имеют первообразной.

Значительно возросло число различных (конечных и бесконечных) сумм и произведений, вычисляемых ана¬литически, а также аналитически решаемых обыкновен¬ных дифференциальных уравнений и уравнений в част¬ных производных .

Из числа других улучшений можно выделить повы¬шение скорости решения задач линейной алгебры.

Численные методы

Для тех задач, которые невозможно решить аналити¬чески, Mathematica 3.0 предлагает большое количество эффективных алгоритмов для проведения численных расчетов. Она позволяет находить конечные и бесконеч¬ные суммы и произведения, вычислять интегралы, решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы, задачи оптимизации (линейного программиро¬вания, нахождения экстремумов функций), а также зада¬чи математической статистики. При численном решении математических задач на¬ряду с правильностью алгоритмов расчета особую роль играет точность вычислений. В Mathematica 3.0 реализо¬ван адаптивный контроль точности, основанный на вы¬боре внутренних алгоритмов, позволяющих ее максими¬зировать. В этой версии программы повышена эффективность одно и многомерной интерполяции, оптимизированы алгоритмы численного решения дифференци¬альных уравнений Добавлены многократное численное интегрирование) а также численное дифференцирование Оптимизированы алгоритмы нахождения экстремумов Поддерживается арифметика интервалов (рис 6)

Осуществлен независимый от конкретной компьютернои платформы механизм ввода и вывода числовых данных без потери точности.

Математические функции

Мathernatica 3.0 позволяет включать в расчеты все известные элементарные функции, а также сотни специ¬альных встроенных функций . Разумеется, пользователь программы может вводить и свои функции как для применения в течение одного сеанса работы так и для постоянного использования. В новой версии 3.0 добавлены интегралы Френеля ин тегральные гиперболические синус и косинус, обратная функция ошибок, ãàììa и бета функции, дополнительная функция Вейерштрасса, эллиптические и родственные с ними функции, функции Матье .Введены числа и полиномы Фибоначчи .

Графика и звук

Mathernatica позволяет строить двух и трехмерные графики различных типов в виде точек и линии на плоскости, поверхностей, а также контурные, градиентные (dencity plot), параметрические. Имеется большое коли¬чество опций оформления и настройки, например изме¬нение подсветки, цвета, размеров и точки наблюдения . Mathematica выполняет построение графика в три эта¬па. На первом создается множество графических прими¬тивов, на втором они преобразуются в независимое от вы¬числительной платформы описание на языке PostScript, а на третьем это описание переводится в графический фор¬мат для той системы, на которой установлена Mathematiса. Если первые два этапа осуществляет ядро программы, то последний — интерфейсный процессор. Mathematica позволяет также строить серии карти¬нок, которые могут быть воспроизведены как анимация. Программа содержит функции, позволяющие создавать и воспроизводить различные звуки, а также воспринимает и может анализировать некоторые типы стандартных звуковых файлов.