Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направ-лений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых рас-четов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потреб-ление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматри-ваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы по-требление ( средства производства других экономических систем, потребление населе-ния, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназна-ченную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отрас-лью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Таблица 1

№ потребление итого на конечный валовый

отрас. внутре продукт выпуск

производ. ( уi ) ( хi )

№ 1 2 … k … n потребление

отрас. ( хik )

1 х11 х12 … х1k … х1n х1k у1 х1

2 х21 х22 … х2k … х2n х2k у2 х2

… … … … … … … … … …

i хi1 xi2 … xik … xin  xik yi xi

… … … … … … … … … …

n xn1 xn2 … xnk … xnn xnk yn xn

итого

произв.

затраты хi1 xi2 …  xik …  xin

в k-ю

отрасль

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :

х1 - ( х11 + х12 + … + х1n ) = у1

х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 ( 1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему перио-ду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

_

у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

_

x = ( x1 , x2 , … , xn ). ( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :

xik

aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

xk

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что ко-эффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как ис-текший, так и планируемый период, т.е., что

x’ik xik

––– = ––– = aik = const ( 4 )

x’k xk

Исходя из этого предложения имеем

xik = aikxk , ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) на-зывают условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу

a11 a12 … a1k … a1n

a21 a22 … a2k … a2n

A= ………………….

ai1 ai2 … aik … ain

an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы не-отрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и назы-вают такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производст-вом и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :

x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1

x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )

……………………………………

xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать мат-ричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е•х - А•х = У , или окончательно

_ _

( Е - А )•х = У , ( 6' )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a11 -a12 … -a1n

E - A= -a21 1-a22 … -a2n

…………………

-an1 -an2 … 1-ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn ) и опре-делять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

табл.2

№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый

№ затрат продукт выпуск

отрас 1 2

0.2 0.4

1 100 160 260 240