Акустические свойства полупроводников

образом. В стационарном состоянии имеет место равновесие тока проводимости (вызванного наличием поля) и диффузионного тока (вызванного перераспределением электронов в пространстве). Поэтому электроны перераспределяются тем в большей степени, чем больше отношение электропроводности к коэффициенту диффузии (т. е. чем меньше R при заданной величине q). В свою очередь, чем больше электронов перераспредели-

лось в пространстве, тем более эффективно экранирование затравочного потенциала φ0.

Приведем характерные значения радиуса экранирования в типичных случаях. В CdS при комнатной температуре и n0 = 1012 см-3 R = 5 * 10-4 см: при n0 =1014 см-3 R = 5 * 10-5 см.

Учтем теперь, что бегущая звуковая волна не стоит на месте, а распространяется по кристаллу, создавая электрическое поле, меняющееся в каждой точке кристалла с частотой звука ω². Поэтому возникает вопрос, за какое же время устанавливается статическая картина экранирования, описанная выше. Таким характерным временем является максвелловское время релаксации:

τ = ε/4πσ

Оно обратно пропорционально электропроводности σ, что естественно: ведь именно благодаря процессам электропроводности электроны проводимости могут перераспределяться в пространстве.

Если величина ωτ мала, то за период звука статическое экранирование успевает установиться почти полностью, и картина пространственного распределения электронов мало отличается от той, которая была бы в статическом случае. При этом, как мы видели, потенциал φ отличается от φ0 множителем (qR)2 [1 + (qR)2 ]-1. Такой же множитель должен появиться и в слагаемом, описывающем вклад в скорость звука за счет пьезоэлектрического эффекта:

ω = ω0 [1 + χ (qR)2 /2 (1 + (qR)2 )]

В обратном предельном случае, когда ωτ »1, экранирование не успевает установиться, и скорость звука в полупроводнике равна ωd.

2. ПОГЛОЩЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ЗВУКА

При распространении бегущей звуковой волны пространственное распределение электронов стремится следовать за пространственным распределением пьезоэлектрического потенциала. Соответственно переменные пьезоэлектрические поля порождают переменные электронные токи, которые и «подстраивают» распределение электронов к распределению потенциала. При протекании этих токов в проводнике должно выделяться джоулево тепло. В результате при распространении звука механическая энергия звуковой волны переходит в энергию беспорядочного теплового движения, т. е. происходит поглощение звука. Интенсивность поглощаемого звука изменяется по закону:

S (х) =S (0) ехр( - Гх),

где S(0) — интенсивность «на входе» кристалла. Величина Г называется коэффициентом поглощения звука.

Для отношения коэффициента поглощения звука Г к величине его волнового вектора q можно получить следующее выражение:

Г / q = χωτ/((1 + q2R2)2 + (ωτ) 2) (5)

Частотной зависимости этого выражения можно дать следующее наглядное объяснение.

Переменный ток, создаваемый пьезоэлектрическим почтем, вызывает перераспределение свободных зарядов. Перераспределенные заряды, в свою очередь, создают добавочное электрическое поле. Оно, как уже говорилось, направлено противоположно первоначальному электрическому, полю и, следовательно, приводит к уменьшению тока проводимости; τ и есть то время, за которое происходит перераспределение свободных зарядов. При статической деформации заряды перераспределяются и их поле компенсирует (экранирует) пьезоэлектрическое поле. таким образом, что ток становится равным нулю.

Если деформация измеряется с частотой ω, которая гораздо меньше 1/ τ, устанавливается почти полная компенсация. Точнее, поле объемных зарядов в случае переменной деформации, создаваемой звуком, отличается от статического поля на малую величину, пропорциональную ωτ. Поэтому в пьезоэлектрике протекает переменный ток, пропорциональный той же малой величине ωτ. Соответственно коэффициент Г, определяемый квадратом плотности тока, оказывается пропорциональным ω2.

В обратном предельном случае больших ωτ поле объемных зарядов за период звука вообще не успевает возникнуть. Поэтому при ωτ »1 коэффициент пропорциональности между плотностью тока и электрическим полем оказывается вообще независящим от частоты. Не зависит от частоты и коэффициент Г. Член (ωτ) 2 в знаменателе (5) и обеспечивает предельный переход от одного случая к другому. . Наконец, при qR » 1 коэффициент поглощения быстро убывает при увеличении частоты. Это связано с тем (уже отмечавшимся выше) обстоятельством, что звуковая волна, длина которой гораздо меньше радиуса экранирования, почти не вызывает перераспределения заряда даже в статическом случае.

Коэффициент поглощения достигает максимального значения при частоте ωm = ω0/R, т. е. когда длина волны равна 2πR; максимальное значение Гmo коэффициента поглощения равно χ/4R.

Характер частотной зависимости коэффициента поглощения определяется величиной ωmτ. Если ωmτ « 1, то максимум получается сравнительно острым.

В противоположном предельною случае коэффициент поглощения растет пропорционально ω2 вплоть до частот порядка 1/τ, после чего его рост становится очень медленным. Максимум в этом случае оказывается более пологим. При ω » ωm коэффициент поглощения во всех случаях убывает пропорционально ω2. Семейство Г(ω) при разных значениях ωmτ приведено на рис. 3.

Интересно проследить характер зависимости коэффициента поглощения Г от электронной концентрации n0. Обычно проводимость σ пропорциональна n0: σ = е n0μ, где μ - так называемая подвижность электронов. Таким образом, максвелловское время релаксации τ обратно пропорционально n0. Радиус экранирования R, как мы видели, обратно пропорционален √ n0 (см. (4)). Поэтому при малых концентрациях электронов коэффициент Г прямо пропорционален n0, а при больших - обратно пропорционален n0. Существует, таким образом, при любой частоте (о некоторая промежуточная концентрация nw, при которой коэффициент Г максимален.

Оценим коэффициент поглощения Г для какого-нибудь типичного случая. Рассмотрим, например, поперечный звук в CdS, скорость которого ω0 = 1,8 х 105 см/с. Пусть n0 = 5 х 1012 см-3, ω = 3 х 108 с-1, μ = 300 см2/Вс, χ = 0,036, ε = 9,4, Т=300 К. Тогда τ = 3,5 х 10-9 с, R= 1,6 х 10-4 см, q= 1,7 х 103 см-1, и мы получаем, что коэффициент Г составляет около 30 см-1. Это означает, что на расстоянии в 1/30 ~ 0,03 см интенсивность звука затухает в с раз, т. е. теория предсказывает сильное затухание уже при таких малых концентрации и частоте.

А теперь мы переходим, пожалуй, к самому интересному вопросу — анализу влияния электрического поля на поглощение звука. Представим себе, что к пьезоэлектрическому полупроводнику, в котором распространяется звуковая волна, приложено постоянное электрическое поле Е.

Под влиянием постоянного поля Е возмущения электронной концентрации, созданные звуковой волной, движутся со скоростью дрейфа электронов:

V = μE

Чтобы в этом случае найти изменение электронной концентрации под влиянием переменного поля звуковой волны, удобно перейти к движущейся системе координат, скорость которой по отношению к кристаллической решетке равна V. В этой системе можно пользоваться выражениями для распределения электронной концентрации, полученными в отсутствие постоянного электрического поля. Нужно только учесть, что в силу эффекта Доплера частота звука в движущейся системе координат изменяется и оказывается равной ω — qV, где q — волновой вектор звука. В итоге в выражении (5) для отношения Г/q следует произвести замену ω → ω - qV. Это дает:

Г/q = χω(ω – qV)τ/ω0((1 + q2R2) + (ω – qV2)τ2)

В простейшем случае, когда направление распространения звука параллельно дрейфовой скорости, коэффициент поглощения обращается в нуль при V = ω, т. е. когда дрейфовая скорость электронов становится равна скорости звука. При V > ω коэффициент поглощения меняет знак. При Г