Физика /
изделий каждого вида представля-ются линейными функциями q 2l = q 2l (q 1):
q 2l = q 2l (q 1) = a l , q 1 ; l = 1, , n ,
количеств затрачиваемого сырья в виде скалярных произведений a l , q 1 m-мерного столб-цового вектора q 1 затрат сырья с m-мерными строчными векторами a1 , , a n матрицы затрат a:
a1 = ( a1 1 a 1 m ) ,
an = ( an 1 a n m )
- векторами выпуска изделий каждого вида из всего ассортимента потребляемого сырья.
В обычных матричных обозначениях набор линейных функций q 2l = q 2l (q 1) образу-ет n-мерный столбцовый вектор предложения изделий q 2. Матричное представление полу-ченных балансовых соотношений:
q 2 = a1 1 a1 m
an1 an m q 11
q 1m
= a q1
описывает осуществляемый mn матрицей выпуска a линейное преобразование m количеств потребляемого сырья всех видов в n количества производимых из него изделий.
5.Множество допустимых планов. Допустимыми являются такие закупки сырья q 1, при которых предложение производимых из него изделий q 2 удовлетворяет заданному на них спросу q 2:
q 2 = a q 1 q 2 ,
или: предложение удовлетворяет спрос.
Полученные ограничения:
a 1 1 q 11 + + a 1 m q 1m q 21 ;
a n 1 q 11 + + a n m q 1m q 2n ,
являются прямыми или количественными необходимыми условиями равновесия. Их реше-ния называются множеством допустимых планов задачи.
Как мы увидим позднее (см. ), множество решений полученной системы нера-венств, вообще говоря, неоднозначно, допуская любое неотрицательное перепроизводство изделий q 2 :
q 2 q 2 q 2 0 .
6.Равновесное потребление сырья. Издержки данного производства, то есть сто¬имость приобретаемых по заданным закупочным ценам p1 1 , , p1m потребных количеств q 11 , , q 1m всех видов сырья, образует их линейную функцию L(q 1):
L(q 1) = p1 1 q 11 + + p1m q 1m = p1 , q 1 ,
называемую функцией стоимости, а также целевой функцией рассматриваемой задачи. Ко-личественная часть задачи равновесного управления состоит в отыскании на области допус-тимых планов закупок сырья план закупок q 1 наименьшей стоимости L(q 1):
q 1 : p1 , q 1 = min p1 , q 1
q1 a q 1 q 2 .
Минимизирующее функцию стоимости задачи допустимое значение искомого вектора q 1 называется его равновесным значением или, еще, оптимальным планом задачи, а полу-ченная задача - задачей равновесного (или, что то же самое - оптимального) производствен-ного управления. В общем случае требование минимизации стоимости обеспечивает единст-венность ее решения.
1.2. ЦЕНОВАЯ ЧАСТЬ ЗАДАЧИ ЗАТРАТ
1.Оценивание изделий. В условиях того же самого производства:
q 11 q 1m
p2 1
p2 n a1 1 a1 m
an1 an m q 21
q 2n
p11 p1 m
- одновременно с веществом сырья на выпускаемые из него изделия переносится и его стои-мость и возникает двойственная задача оценки сырья ценами производимых из него изделий, называемая, также, ценовой частью задачи затрат.
Действительно, изготовление из единицы сырья вида k: k=1, , m, al k штук изделий каждого вида l: l=1, , n, по ценам p2 l за штуку сообщает сырью стоимости p1 k:
p1 1 = p2 1 a1 1 + + p2 n an 1 = p2 , b 1 ;
. . .
p1 m = p2 1 a1 m + + p2 n an m = p2 , b m.
в виде линейных функций
p1 k = p1 k (p2) = p2 , b k
цен производимых из них изделий, в совокупности образующих m-мерный строчный вектор ценности сырья p1. Коэффициентными векторами этих линейных функций служат столбцы b1 , , bm той же самой матрицы затрат a:
b 1 =
a1 1
an 1
; . . . , b m = a1 m
an m
- векторы выпуска ассортимента изделий из сырья каждого вида.
Полученные ценовые балансовые соотношения:
p1 = ( p1 1 p1 1)
a1 1 a1 m
an1 an m
= p 2 a,
являются линейным преобразованием p 2 a= p 1 цен выпускаемых изделий в производствен-ные ценности потребляемого сырья, двойственным осуществляемому той же матрицей вы-пуска изделий a количественному линейному преобразованию q 2 = a q 1 , сырья в изделия.
2.Ценовые условия равновесия. В условиях свободного доступа как производите-лей, так и потребителей товаров к сырью и технологиям, продажа всякого готового изделия его производителем становится возможной лишь при условии того, что приобретение гото-вого изделия потребителем оказывается для него не дороже его самостоятельного изготовле-ния. По этой причине допустимыми являются такие продажные цены p2 выпускаемых изде-лий, при которых производственные ценности p1= p1(p2) сырья не превышают его закупоч-ных цен p1 :
p1 = p2 a p1 .
Полученные условия продаж являются двойственными или ценовыми необходимыми усло-виями равновесия. Они выражают тот наш потребительский опыт, в соответствии с которым товары массового производства при прочих равных условиях имеют свойство приобретаться тем охотнее, чем ниже их цена.
Множество решений ценовых ограничений называется множеством допустимых цен.
3.Равновесные цены изделий. Доход производства, даваемый стоимостью продавае-мых по ценам p2 1, , p2 n требуемых количеств q 21 , , q 2n выпускаемых изделий образует линейную функцию Ldual(p2) этих цен:
Ldual(p2) = p2 1 q 21 + + p2 n q 2n = p2 , q 2,
называемую функцией стоимости ценовой части задачи. Как и всякий доход он стремится быть максимизированным своим получателем, и по этой причине двойственная часть задачи управления состоит в отыскании на множестве допустимых цен изделий их наиболее доход-ных значений p2 :
p2 : p2 , q 2 = max p2 , q 2
p2 p2 a p1
.
Максимизирующие функцию стоимости задачи допустимые цены изделий называют-ся их равновесными ценами, а сама задача - двойственной или ценовой частью задачи равно-весного управления.
4.Правила двойственного соответствия. Итак, для одной и той же задачи затрат:
q 1
p2 a q 2 ,
p1
мы получили ее прямую и двойственную части:
q 1 : min p1 , q 1 при a q 1 q 2
и
p2 : max p2 , q 2 при p2 a p1 .
Обе они, несмотря на различные "сопряженные" наборы искомых неизвестных: в одной q 1, а в другой p2 ,- объединены одними и теми же наборами параметров a, q 2 и p1 и обладают оп-ределенной двойственной симметрией, позволяющей по одной части задачи востановить ей двойственную часть и наоборот.
Действительно, сравнивая между собой обе подзадачи, мы можем установить правила соответствия между ними. Эти правила состоят в замене
1) знака ограничений с на ,
2) действия оптимизации функции стоимости c min на max ,
3) параметров ограничений на параметры функции стоимости c q 2 на p1 ,
4) количественных переменных на им сопряженные ценовые: c q 1 на p2 , и наоборот,
и позволяют по известной одной части задачи тут же написать ей двойственную.
Заметим , также, что "сопряженные" количественные q 1 и ценовые p2 переменные обеих подзадач относительно количеств товаров имеют взаимно обратные количественные размерности штук и обратных штук товара:
[ q 1k ] = штуки и [ p2 l] = рубли / штуки,
и их балансовые соотношения взаимно обратны в том смысле, что в прямых - количества сырья преобразуются в количества изделия, а в двойственных - наоборот: цены изделий пре-образуются в цены сырья:
q 2 = a q 1 и p2 a = p1 .
5.Транспонирование. Соблюдаемое нами во взаимно двойственных подзадачах раз-личение строчных и столбцовых векторов устраняется действием транспонирования. Транс-понированием матрицы называется действие замены ее строк столбцами или, что то же са-мое,- столбцов