Физика /
МГТУ им Н.Э.Баумана
гр. ФН2-41
Котов В.Э.
Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Мак-свелла.
(по материалам лекций Толмачева В.В.)
Постановка задачи
Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемо-стью и соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2) , необходимо вы-яснить соотношения между углами и , а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла : и (1) (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е. )
для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х на-править в сторону распространения волны):
и ( = =0) (2)
где A и B , и , - постоянные (не зависят от времени и координаты) ,
и - характеристики среды , в которой распространяется волна ,
, t - рассматриваемый момент времени
x - рассматриваемая координата на оси Х
V - скорость распространения волны в данной среде
(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением )
Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : и не терпят разрыва на поверхности раздела , и также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не те-чет ток и нет поверхностной плотности заряда:
(3)
(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)
Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1) , удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор пер-пендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.
Случай ТМ -волны (p - волны)
рис.2
Из рисунка видео , что , запишем условия равенства на границе раздела :
( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)
подставляем значения :
подставляем из (2) :
Аналогично , поскольку получаем для вектора на границе раздела:
( c учетом (2) )
для выполнения равенств для и потребуем равенства аргументов косинусов :
потребуем также равенства начальных фаз:
из рисунка видно , что : , (4)
( , и - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :
из равенства аргументов получаем :
(т.к. , )
т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света
разделим теперь выражения для и на , получим (c учетом (4) ) следую-щую систему :
(5)
здесь неизвестными являются и , а - заданно.
Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе , тогда члены с сократятся и получим:
поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда:
.
( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что )
применив закон преломления , получим (6):
из второго уравнения системы (5) получаем для :
(поскольку полагаем ,) , тогда:
(7)
проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку , проверим первое равенство :
из рисунка видно , что , а подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) :
(выражая через второе уравнение систе-мы (5) )
Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отраже-ния и преломления (из (6) и (7) ):
и
Случай ТЕ -волны ( s - волны)
рис.3
Из рисунка видно , что
Условия (3) для и :
подставляя значения и из (2) получим :
как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно анало-гично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на и с учетом (4) получим систему :
(8)
умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе :
поскольку мы полагаем (см. выше) то
(9)
из второго уравнения системы (8) получаем:
(10)
проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : и .
Второе условие выполняется , поскольку , проверим выполнение равенства : из рисунка видно , что , а подставим значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) получим :
подставляем из второго уравнения системы (8) :
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))
и
Анализ формул Френеля
Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения . Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга падающей и отраженной ( и в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (
и ) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:
А. Отражение
Исследуем сначала поведение и на границах отрезка :
при (просто положить равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):
для случая падения из воздуха в стекло ( ) :
т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды мес-тами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при :
Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.
В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отра-жается от поверхности раздела. Это происходит при значениях больших , чем , вычис-ляемого следующим образом:
Для падения из стекла в воздух
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому в случае падения из опти-чески более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае:
Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции: и
Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции , заданной неявно :
Знак этой производной ( поскольку , ) зависит только от знака вы-ражения , это выражение > 0 , когда (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и 0 при и 0 , но эта функция проходит через нуль. Посколь-ку числитель , при рассматриваемых пределах изменения в 0 обращаться не может это про-исходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
Это есть угол Брюстера ( ) , при котором обращается в 0 , то есть отраженная волна от-сутствует . Для случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол меняет знак на минус , следовательно как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).
При для небольших 1 больше 0 при и меньше 0 при , при n