Группы многоцветной симметрии

Группы многоцветной симметрии

Рис. 170

Анализ 230 федоровских групп симметрии позволяет выбрать те из них, операции симметрии которых не содержат скольжения вдоль оси Z ( ). С помощью этих групп можно описать плоские узоры (постройки), составленные из фигур, лежащих в одной плоскости. При этом часть групп (17 полярных групп симметрии) будет описывать односторонние узоры, все фигуры которых обращены к наблюдателю одной лицевой (белой) стороной; другая часть (46 групп) - двусторонние узоры, где фигуры обращены к наблюдателю как лицевой, так и изнаночной (черной) стороной. Поэтому каждой из них можно поставить в соответствие одну из 46 плоских двухцветных (шубниковских) групп (табл. 10, рис. 170, см. цветную вставку).

Например, симметрию узора, изображенного на рис. 170, можно описать с нескольких позиций, придавая цвету различный смысл. С одной стороны, этот узор ( рис. 170, а) иллюстрирует группу антисимметрии pm' a2' , с другой, если считать черный и белый цвет фигур их лицевой и изнаночной сторонами, полученный узор может быть описан федоровской группой ( рис. 170, б). При этом классическим эквивалентом зеркальной плоскости антисимметрии (m' ) станет поворотная ось 2-го порядка (2у), расположенная на уровне исходных фигур; эквивалентом оси 2z? - классический центр инверсии ( ). Придав разноокрашенным фигурам два уровня, отличающиеся на полтрансляции вдоль оси Z (например, белые - на высоте +z, а четные - на высоте , где величина z может принимать любые значения), тот же самый узор можно описать федоровской группой Pca21 ( рис. 170, в). В этом случае зеркальная плоскость антисимметрии m' группы pm' a2' станет классической плоскостью скользящего отражения с, ось 2' превратится в классическую 21. Классическая плоскость а (плоскость с горизонтальным скольжением) перейдет в новую федоровскую группу Pca21 без изменения.

Рис. 171

Очевидно, что элементами симметрии, задающими фигуры на двух уровнях, отличающихся на полтрансляции вдоль оси с элементарной ячейки, будут оси 21 , 42 , 63 , плоскости симметрии c, n и трансляции решеток , , и . При этом такая абстрактная характеристика, как цвет (черно-белая раскраска фигур), в данном случае символизирует два уровня их расположения.

Однако среди 230 федоровских групп симметрии существуют такие, с помощью которых можно описать трехмерные постройки, где симметрически связанные фигуры располагаются на нескольких (более двух!) уровнях - трех, четырех или шести, обеспечиваемых следующими трансляционными элементами симметрии: осями 31 , 32 , 41, 43, 61, 62, 64, 65, клиноплоскостью d и трансляциями ромбоэдрической ячейки Браве . Вновь, придав в проекции на плоскость чертежа каждому из уровней определенный цвет, получим группы многоцветной симметрии: трех-, четырех- или шестицветной. При этом обозначения цветных групп (G) иногда сопровождаются верхним индексом р (G(р)), указывающим на количество цветов, кратное порядкам кристаллографических групп - G(3), G(4), G(6) и т.д. Цвет в данном случае условно выступает в качестве дискретной негеометрической переменной в трехмерном пространстве.

На этой основе Н.В.Беловым и Т.Н.Тарховой в 1956 г. [7, 12, 54] была выдвинута идея многоцветной симметрии. Впервые они вывели 15 двухмерных цветных циклических и кратных от них групп проектированием на плоскость соответствующих федоровских групп, содержащих перечисленные выше трансляционные элементы симметрии: P41 , P43 , I41 , P61 , P65 , P62 , P64 , P31 , P32 , R3, R3m, R3c, I41md, I41cd и Fdd2 (см. цветную вставку, рис. 171). Работы Н.В.Белова послужили основой вывода остальных пространственных и точечных групп цветной симметрии [37, 43, 45, 46]. Рассмотрим некоторые из мозаик, предложенных Н.В.Беловым.

Рис. 172

Мозаики с симметрией P41 и P43. Обозначив разным цветом фигуры на 4 уровнях вдоль оси с элементарной ячейки, связанные операциями симметрии винтовых осей 41 и 43 и спроектированные на плоскость чертежа, получим цветные мозаики, иллюстрирующие соответствующие федоровские группы симметрии - Р41 и Р43 (см. цветную вставку, рис. 172). Условно принятая последовательность цветов - прямая (желтый (1) - синий (2) - красный (3) - зеленый (4)) и обратная (зеленый - красный - синий - желтый) - укажет направление вращения вокруг осей 41 или 43 соответственно.

Рис. 173

Приведенные мозаики позволяют проследить все особенности пространственных групп симметрии Р41 и Р43 : два типа одноименных трансляционно неидентичных винтовых осей (в вершинах и в центре элементарной ячейки) и расположенные на серединах ребер ячейки винтовые оси 21 .

Мозаика с симметрией R3. Для иллюстрации группы симметрии R3 необходима трехцветная мозаика (см. цветную вставку, рис. 173, а) с ясно видимыми энантиоморфными осями 31 и 32, неизбежно сопровождающими в R-решетках поворотные оси 3-го порядка (рис. 173, б).

Рис. 174

Мозаика с симметрией P61. Мозаика с симметрией Р61 предполагает 6 цветов (6 уровней): красный - белый - синий - желтый - черный - зеленый (см. цветную вставку, рис. 174, а). В центрах шестиугольников расположены оси 61 , включающие в себя оси 31 и 21, взаимодействие которых с горизонтальными трансляциями решетки (каждая по своему закону), вызывает появление указанных осей в различных позициях элементарной ячейки (рис. 174, б).

Мозаики с симметрией I41md и Fdd2. В пространственной группе I41md ось 41 является результатом взаимодействия плоскостей симметрии m и d, при этом алмазная плоскость d обусловливает 4 уровня расположения фигур, т.е. четырехцветную мозаику (см. цветную вставку, рис. 175, а). Хорошо видно чередование энантиоморфных осей 41 и 43 вдоль горизонтальных ребер элементарной ячейки и осей 2-го порядка в центрах одноцветных квадратов.

Рис. 175

Интересен переход от тетрагональной группы I41md = F41dm к ромбической Fdd2 путем деформации исходной тетрагональной ячейки вдоль алмазной плоскости d, при которой исчезают зеркальные плоскости m, а следовательно, и оси 41 и 43 (рис. 175, б). Таким образом, цветные мозаики могут иллюстрировать как определенные федоровские группы, так и цветные плоские группы.

Рис. 176

Цветную симметрию можно показать на 18 точечных группах многоцветной симметрии [37] - 18 беловских группах (классах), проиллю-стрировав их трех-, четырех- или шестицветными фигурами (см. цветную вставку, рис. 176).

Выбрав из 32 точечных групп симметрии 10 групп, пригодных для , т.е. групп с осями высшего порядка, без перпендикулярных к ним осей 2, а также без параллельных им зеркальных плоскостей симметрии, делающих бессмысленным, -

, pассмотрим возможности их . Обязательным цветным элементом симметрии во всех перечисленных группах будет ось высшего порядка: 3(3), 4(4), либо 6(n) = 3 .2. Для последней следует рассмотреть два варианта: с простой и цветной осью 2. Поэтому каждая из осей 6-го порядка - поворотная (6), зеркальная ( ) и инверсионная ( ) - может оказаться либо шестерной цветной - 6(6), (6), , либо тройной цветной осью - 6(3), (3), ; где 6(6) = 3' . 2' , , (6) и 6(3) = 3' . 2, , (3) . (Штрихи, заимствованные из обозначений эле-ментов антисимметрии, в данном случае указывают на цветные элементы симметрии, показатели степени в скобках - на количество цветов)

Для цветных групп, подчиненных полярной , возможны 4 варианта входящих в них элементов симметрии 2-го порядка:

(см. рис. 176). Раскраска групп тетрагональной сингонии, подчиненных точечной , даст две цветные группы: и . Учитывая приведенные выше ограничения, касающиеся элементов симметрии 2-го порядка, из пяти кубических точечных групп симметрии следует исключить классы и 432. Для оставшихся двух классов - 23 и - возможны лишь три варианта цветных групп: 23' , . Однако если в первой из них три координатные оси 2-го порядка (зависимые одна от другой - 2x . 2y = = 2z - и связанные между собой осями 3) не могут быть , то в двух последних координатные плоскости m не зависят одна от другой и поэтому могут быть цветными.

Существуют и некристаллографические точечные цветные группы, где число цветов может быть кратно пяти.

Беловская цветная симметрия послужила основой для разработки различного рода расширений цветных групп симметрии. В частности, помимо выведенных выше 18 цветных точечных групп - беловских классов - были получены пространственные беловские группы, а синтез идей цветной симметрии и кратной антисимметрии привел к понятию цветной антисимметрии, которое, в свою очередь, в дальнейшем получило соответствующее развитие [43, 45, 46]. Таким образом, все новые идеи в учении о симметрии тесно переплетаются, содействуя развитию друг друга, и находят применение при описании свойств и симметрии кристаллов.

Примеры использования шубниковских и цветных групп в кристаллофизике

Рис.177

Группы антисимметрии и цветной симметрии используют при описании некоторых физических свойств кристаллов, например электрических (расположение электрических моментов) или магнитных (упорядоченные структуры, в которых магнитные моменты атомов могут принимать две или несколько ориентаций) [14, 31]. Так, схематично показанные на рис. 177 различные конфигурации магнитных векторов в кристаллических структурах, условно изображенные полярными стрелками, невозможно описать с использованием лишь классической симметрии или антисимметрии. Если за исходную взять точку 1 с вертикально ориентированным магнитным моментом во всех типах изображенных магнитных структур, то на рис. 177, а расположения векторов естественно