Парадоксы теории относительности

“В свете уже достигнутых знаний то или иное удачное достижение кажется почти само собой разумеющимся, и его суть без особого труда способен ухватить любой мало-мальски грамотный студент. Но годы изнурительных поисков во мгле, наполненные страстным стремлением к истине, сменой уверености и разочарования, и, наконец, выход работы в свет – это способен понять лишь тот, кто пережил все это САМ. “

Альберт Эйнштейн

Вступ.

Серед професорів Цюріхського Федерального вищого політехнічного училища, лекцій якого так сильно уникав Ейнштейн, був математик Герман Мінковський, який одного часу навіть вважав Ейнштейна ледарем. Пізніше він став професором відомого Гетингенського університету в Німеччині, де в результаті пошуку, розпочатого в 1907 році, йому вдалось показати, що математичний аппарат теорії відносності добре вписується в структуру чотирьохвимірного простору-часу. Чотирьохвимірний підхід до усіляких релятивістських відношень був уже до того часу добре розвинутий в праці Пуанкаре 1905 року, направленій ним на друк майже одночасно з Ейнштейном. Однак Мінковський пішов в цьому напрямі набагато далі, чим Пуанкаре, дякуючи чому право першовідкривача як правило приписується йому.

Ми вже знаємо в основних рисах, що таке координати. Для випадку двох вимірів точне положення точок можна, наприклад, задати на листку міліметрового паперу за допомогою координат х і у, які відраховуються вздовж двох координатних осей з початком в точці О, якими можуть служити, скажімо, дві взаємноперпендикулярні прямі Ох і Оу. На рисунку зображено самі суттєві деталі і відсутня міліметрова сітка, яка здатна сильно захаращити креслення. З точки Р тут опущено перпендикуляр на вісь х. Якщо Р має координати (х,у), то довжина відрізка OQ рівна х, а QP – y. Нехай r – це відстань від точки Р до початку координат. Тоді використання теореми Піфагора до прямокутного трикутника OQP дає

QP2=OQ2+QP2, або r2=x2+y2.

Тепер введемо ще одну пару ортогональних осей координат з тим же початком, але повернутих на деякий кут по відношенню до початкової системи координат. При цьому виникає питання “Що станеться з формулою для r2, якщо її перевести з старих нештрихованих, до нових штрихованих координат?”

Існує дуже короткий шлях, який веде до відповіді і не потребує пошуку закону перетворення від старих координат (нештрихованих) до нових (штрихованих). На рисунку зображено основні деталі обох систем координат і показано розміщення точок О і Р відносно повернутих осей координат Ох’ і Оу’. Пряма PQ’ перпендикулярна осі х’. Відстань ОР (або r), та сама, що і раніше, тоді як координати х’ і у’ точки Р визначаються довжинами відрізків ОQ i QP. Але все таки з теореми Піфагора для прямокутного трикутника OQ’P слідує, що

QP2=OQ’2+Q’P2,

або r2=(x’)2+(y’)2.

Якщо не враховувати штрихів, то формула для r в штрихованих координатах точно така ж, як і в нештрихованих.

В трьохвимірному просторі можна ввести ще одну вісь z, перпендикулярну двом нашим. Повторним приміненням теореми Піфагора можна довести, що поряд з співвідношенням

r2=x2+y2+z2,

яке має місце в нештрихованій системі координат, виконується і співвідношення

r2=(x’)2+(y’)2+(z’)2,

справедливе в штрихованій системі координат, створеній трійкою взаємно перпендикулярних осей, які мають той же початок, але повернутих відносно початкових.

Якщо згадати перетворення Лоренца, то неважко помітити, що вони являють собою деяке сплетіння координат x i t. Це дає підставу міркувати, що і час якось геометрично переплітається з простором. Як показує елементарний алгебраїчний розрахунок, при перетвореннях Лоренца величина s, яка визначається співвідношенням

s2=x2+y2+z2-c2t2,

веде себе так, що

(s’)2=(x’)2+(y’)2+(z’)2-c2(t’)2.

Все це, не дивлячись на с2 і знак “мінус”, дуже нагадує формули для r2 в звичайних просторах двух і трьох вимірів, що приводить до чотирьохвимірної інтерпритації нашого світу, де час виступає на рівних з простором.

В такому чотирьохвимірному світі Мінковського величина s, аналогічна відстані між двума точками, називається чотирьохвимірним інтервалом між двома подіями. Точно так само, як формула для відстані r зберігає свій вигляд при перетвореннях, які описують поворот системи координат в звичайному просторі, вираз для інтервалу s зберігає свій вигляд при перетвореннях Лоренца в чотирьохвимірному просторі-часі. Цікаво, що з всього сказаного можна зробити висновок про близькість аналогії між перетвореннями Лоренца і перетвореннями, які описують поворот системи координат.

Щоб вияснити, наскількі важливим є чотирьохвимірний інтервал, знову припустимо, що ми з вами знаходимся в своїх космічних ракетах, які рівномірно рухаються одна відносно одної з достатньо великою швидкістю, і ви вирішили зіграти партію в шахи. Ваш перший хід е2-е4 включає в себе дві події – підйом королівської пішки з клітинки е2 і розміщення її на клітці е4. Для вас ці події розділені приблизно 6 сантиметрами в просторі і 1 секундою в часі.

Але через те, що ваша ракета рухається відносно мене з дуже великою швидкістю, дві цих події згідно моїм вимірам будуть розділені, скажімо, 1000 кілометрами в просторі і (поскільки ваш годинник, за моїми спостереженнями, відстає) приблизно 1,0000056 секунди в часі. Звідси наші погляди розходяться і за просторовим інтервалом і за часовим. Але, не дивлячись на це, якщо кожен з нас підрахує величину чотирьохвимірного інтервалу між двума подіями, виходячи тільки із своїх вимірів часу, то ми отримаємо одне і те саме значення.

Після стількох розбіжностей наших вимірів так приємно знайти щось таке, в чому ми, да і всі інші, хто рівномірно рухається, були б згідні. Ясно, що величина, яка має такі унікальні властивості, як не є краще підходить для опису явищ, які проходять в чотирьовимірному просторі спеціальної теорії відносності.

Ніхто не в стані уявити собі всі чотири виміри. Тому, щоб створити собі хоча б деяке уявне поняття про простір-час, як правило відкидають два з трьох просторових вимірів, розглядаючи лише ту область простору, де y i z рівні нулю (тобто вісь х), що дозволяє розглядати двовимірний простір-час з просторовою координатою х і часовою – t. Зручно замість часової координати t користуватися координатою ct, яка дає відстань, яку пройшло світло за час t, так що тепер і х, і ct – це відстані.

Уявимо, що я вимірюю координату ct, зручно розмістившись в точці х=0. При чому будемо для простоти, як звичайно, рахувати, що мій розмір (як і лінійні розміри інших спостерігачів і подій) дуже малі. Може здатися, що оскільки я розміщений в точці х=0, то мене слід “відобржати” не у вигляді точкової події О, а у вигляді відрізка прямої, яка лежить на осі ct. Цей відрізок називається моєю просторовою лінією.

Ну а як, з моєї точки зору, “відображаєтесь” на діаграмі ви?

Припустимо для простоти, що ви стартуєте рядом зі мною з точки О, тобто з точки х=0 і момент часу t=0, і рухаєтесь з постійною швидкістю вздовж моєї осі х. Так як ваша координата х з часом рівномірно зростає, то ваша просторова лінія буде подібна тій, що зображена на приведеній діаграмі Мінковського. Тобто просторова лінія будь-якої частинки, на яку не діють які б то не були сили (частинка рухається відносно мене з постійною швидкістю), буде прямою. В загальному випадку вона, звичайно, може і не проходити через подію О і не лежати в області чотирьохвимірного простору-часу, де рівні нулю і х і у.

Оскільки частинки, які рухаються з постійними швидкостями, зображені в просторі-часі Мінковського прямими, то перший закон Ньютона, який говорить, що вільні частинки рухаються з постійною швидкістю, може бути сформульований і трохи інакше: просторові лінії вільних частинок – прямі.

Зображаючи на папері простір Мінковського і при цьому намагаючись трактувати чотирьохвимірний інтервал s так само, як ми трактуємо відстань r в звичайній геометрії, неможливо уникнути дуже серйозних викривлень, що добре видно на прикладі двух просторових ліній OL i OL’, які складають з осями кути по 450. Горизонтальна координата х любої точки лінії OL рівна по величині вертикальній координаті ct такої ж точки, і тому вздовж OL завжди справедлива рівність х=ct.

Тепер згадаємо, що світловий сигнал, який вийшов з точки х=0 в момент часу t=0 і який поширюється в додатньому напрямі осі х, пройде за час t відстань ct, рівна добутку швидкості світла с на час t, тобто є х=сt. Таким чином OL – не що інше, як просторова лінія цього світлового сигналу. Тоді OL’ – просторова лінія світлового сигналу, який поширюється в протилежному напрямі. Але якщо координата х рівна ct (а у і z залишаються рівними нулю), то з формули для s2 відразу ж слідує, що s=0. Тому інтервал між подією О і будь-якою подією чи на просторовій лінії OL, чи на просторовій лінії OL’ завжди рівний нулю, і з цим погодиться усякий спостерігач, який рухається рівномірно.

Нічого не поробиш, така відмінність між рівним нулю чотирьохвимірним інтервалом і відмінною від нуля відстанню на одній і тій самій просторовій діаграмі, не відразу ж укладається в свідомості. Але нехай вас це не лякає, так як закони спеціальної теорії відносності забороняють матеріальним об’єктам, які мають масу спокою, рухатись з швидкістю світла. Для таких об’єктів, які відправляються в путь з точки О, визначена раніше величина s2 виходить від’ємна. Щоб уникнути цієї незручності, перевизначимо s2, прийнявши її рівною раніше визначеній величині, але взятій зі знаком “мінус”, і, не дивлячись на таке перевизначення, будемо всеодно s будемо називати інтервалом.

Парадокс близнюків.

Розглянемо відому релятивістську задачу – парадокс близнюків. Один з близнюків