Призма

Реферат по геометрии

на тему:

“Призма”

учащейся 2 курса

Московского Экстерната

Москва 1996

Оглавление

1. Краткий обзор развития геометрии 3

1.1 Общий исторический обзор 3

1.2. О развитии геометрии в Древней Греции до Евклида 6

2. Призма 10

2.1 Площадь поверхности призмы 11

2.2. Призма и пирамида 13

2.3. Пирамида и площадь ее поверхности 15

2.4. Измерение объемов 16

2.5. О пирамиде и ее объеме 17

2.6. О призме и параллелепипеде 19

2.7. Параллелепипед 20

3. Симметрия в пространстве 24

Призма (чертеж) 25

Задачи 26

Литература 30

Определение. Многогранник, две грани которого - одноименные много-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны, называется призмой.

1. Краткий обзор развития геометрии

1.1 Общий исторический обзор

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Раз-ные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не толь-ко пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богат-ства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические све-дения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тети-ву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч раз натягивали люди свои луки изго-товляли разные предметы с прямыми ребрами и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии. Примерно то же можно сказать о других ос-новных геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия про-стейших геометрических зависимостей и соотношений.

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практи-ческих задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометриче-ских фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. По-степенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высо-ким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но они были вытеснены “Начала-ми” Евклида.

Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изло-женная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Из-вестно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведе-ний, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти вели-кие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того вре-мени. На протяжении двух тысячелетий геометрия изучалась в том объеме, по-рядке и стиле, как она была изложена в “Началах” Евклида. Многие учебники эле-ментарной геометрии во всем мире представляли (а многие и поныне представ-ляют) собой лишь переработку книги Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых.

В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала раз-виваться аналитическая геометрия. В XVII - XVIII вв. зарождается и разрабаты-вается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью ме-тодов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного дела и архи-тектуры привело к разработке методов точного изображения пространственных фигур на плоском чертеже, в связи с чем появляются начертательная геометрия, научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проектив-ная геометрия, основы которой были созданы в трудах французских математиков Д.Дезарга и Б.Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В. Понселе (XIX в.).

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геомет-рии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и др.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых по-нятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.

1.2. О развитии геометрии в Древней Греции до Евклида

Ученые и философы Древней Греции восприняли и переработали достиже-ния культуры и науки Древнего Востока. Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс и др. ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки, математики и астрономии. Не случайно зачатки греческой геометрической науки связаны с именем Фалеса Ми-летского, основателя ионийской школы. Ионийцы, населявшие территорию, кото-рая граничила с восточными странами, первыми заимствовали знания Востока и стали их развивать. Ученые ионийской школы впервые подвергли логической обработке и систематизировали математические сведения, позаимствованные у древневосточных народов, в особенности у вавилонян. Фалесу, главе этой школы, Прокл и другие историки приписывают немало геометрических открытий. Об от-ношении Пифагора Самосского к геометрии Прокл пишет в своем комментарии к “Началам” Евклида следующее: “Он изучал эту науку (т. е. геометрию), исходя от первых ее оснований, и старался получать теоремы при помощи чисто логическо-го мышления”. Прокл приписывает Пифагору, кроме известной теоремы о квад-рате гипотенузы, еще построение пяти правильных многогранников:

1) тетраэдр, имеющий 4 грани, 4 вершины, 6 ребер (рис. );

2) куб - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер (рис. );

3) октаэдр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер (рис. );

4) додекаэдр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер (рис. );

5) икосаэдр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер (рис. ).

Грани додекаэдра являются правильными пятиугольниками. Диагонали же правильного пятиугольника образуют так называемый звездчатый пятиугольник (рис. ) - фигуру, которая служила эмблемой, опознавательным знаком для уче-ников Пифагора. Известно, что пифагорейский союз был одновременно философ-ской школой, политической партией и религиозным братством. Согласно легенде, один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с уха-живавшим за ним хозяином дома. Последний нарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник. Увидав через несколько лет этот знак, другой странст-вующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознагра-дил.

Достоверных сведений о жизни и научной деятельности Пифагора не со-хранилось. Ему приписывается создание учения о подобии фигур. Он, вероятно, был среди первых ученых, рассматривавших геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как абстрактную логическую науку.

В школе Пифагора было открыто существование несоизмеримых величин, т. е. таких, отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом. Примером может служить отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны, равное Ц2. Число это не является рациональным (т. е. целым или отношением двух целых чисел) и называется иррациональным, т.е. нерациональным (от латинского ratio - отношение).

Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных. Построив диа-гональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, так как для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привел в большое смущение пифагорейцев, так как в основе их философии лежало понятие о числе как основе всех вещей и явлений природы. Но вот эта великая основа - число - не в состоянии выразить длины про-стого отрезка в простой фигуре - диагонали квадрата. Вот почему открытие несо-измеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора и пифагорей-цы долго его держали в строгой тайне. Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время корабле-крушения. Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии античной математики. Узнав, что существуют отношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрез-ками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра, а потом и теория отно-шений Евдокса.

2. Призма

Рассмотрим произвольный многоугольник, например, пятиугольник АВС-DЕ (см. чертеж на стр. 25), который лежит в плоскости a. Рассмотрим теперь па-раллельный перенос, определяемый некоторым ненулевым вектором V, не лежа-щим в плоскости. Образом плоскости a будет параллельная ей плоскость b. Обра-зом многоугольника Ф будет многоугольник