Теплопроводность через сферическую оболочку

Министерство общего и профессионального образования

Российской федерации

ТОМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Теплопроводность через сферическую оболочку

Пояснительная записка к курсовому проекту

по дисциплине "Физика"

Студент гр.366-4

______Володкин А.

15.12.1997г.

Руководитель

Доцент кафедры физики

________Орловская Л.В.

15.12.1997г.

ТОМСК - 1997

Реферат

Объектом исследования является сферическая оболочка заданной тол-щины с переменным коэффициентом теплопроводности и с заданными значениями температуры на внутренней и внешней поверхностях оболочки.

Цель проекта — определить распределение температуры внутри оболоч-ки.

В процессе работы выведено дифференциальное уравнение теплопро-водности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T(r), где T - температура в произвольной точке оболочки а r - расстояние между этой точкой и геометрическим центром оболочки. Разработана программа TSO, рассчитывающая функцию T(r) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи .

Результатом исследования является аналитическое решение уравнения теплопроводности T(r) и графическая иллюстрация этого решения, изображае-мая на экране компьютера программой TSO.

Полученная в проекте функция T(r) и разработанная программа TSO мо-гут быть полезными для разработчиков химических и ядерных реакторов, кот-лов тепловых станций и различных сосудов в области промышленной и быто-вой техники.

Курсовой проект выполнен в текстовом редакторе Microsoft WORD 7.0.

Abstract

Object of study is a spherical shell of given thickness with floating factors heatconduct and with given values of temperature on internal and external surfaces of shell.

Purpose of project — define a sharing a temperature of inwardly shell.

In the process of work is remove differential equation heatconduct is aplicable to given concrete conditions of problem and is received decision of this equation in the manner of functions T(r), where T - a temperature in the free spot of shell, but r - a distance between this spot and geometric shell centre. Designed program TSO, calculate function T(r) and build its graph for different assign by the user of parameters of task.

Result of studies is an analytical decision of equation heatconduct T(r) and graphic illustration of this deciding, express on the computer screen by the program TSO.

Received in the project a function T(r) and developping program TSO are to be useful for developers of chemical and nucleus reactors, caldrons of heat stations and different containers in the field of industrial and home appliances.

Course project is executed in the textual editor Microsoft WORD 7.0.

Задание

Пространство между двумя сферами радиусы которых R1 и R2 (R1 < R2), температура которых Т1 и Т2, заполнено веществом, теплопроводность которо-го изменяется по закону (b=const), где r - радиус от центра сфер.

Найти закон распределения температуры в этом веществе Т = Т(r).

Содержание

1 Введение....................................................................................................... 6

2 Основные положения теплопроводности................................................... 8

2.1 Температурное поле.................................................................................. 8

2.2 Градиент температуры............................................................................... 10

2.3 Основной закон теплопроводности.......................................................... 11

2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности................................... 13

2.5 Краевые условия........................................................................................ 17

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку............................................... 18

3 Заключение................................................................................................... 22

Список используемых источников................................................................. 23

Приложение А Программа TSO, рассчитывающая функцию T(r).............. 24

1 Введение

В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения те-плоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физи-ко-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложно-стью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопровод-ностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различ-ны по своей природе и характеризуются различными законами.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непо-средственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной темпе-ратурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оно основано на простых коли-чественных законах и располагает хорошо разработанным математическим ап-паратом. Теплопроводность представляет собой, согласно взглядам современ-ной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.

Известно, что при нагревании тела кинетическая энергия его молекул возрастает. Частицы более нагретой части тела, сталкиваясь при своем беспо-рядочном движении с соседними частицами, сообщают им часть своей кинетической энергии. Этот процесс постепенно распространяется по всему телу. Перенос теплоты теплопроводностью зависит от физических свойств тела, от его геометрических размерах, а также от разности температур между различными частями тела. При определении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме того, трудности возникают с увеличением сложности конфигурации системы.

Целью данного курсового проекта является нахождение закона распреде-ления температуры в веществе, которым заполнено пространство между двумя сферами.

2 Основные положения теплопроводности

2.1 Температурное поле

Теплопроводность представляет собой процесс распространения энергии между частицами тела, находящимися друг с другом в соприкосновении и имеющими различные температуры.

Рассмотрим нагрев какого-либо однородного и изотропного тела. Изо-тропным называют тело, обладающее одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При нагреве такого тела температура его в различных точках изменяется во времени и теплота распространяется от точек с более вы-сокой температурой к точкам с более низкой. Из этого следует, что в общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопрово-ждается изменением температуры T как в пространстве, так и во времени:

, (2.1)

где — координаты точки;

t — время.

Эта функция определяет температурное поле в рассматриваемом теле. В математической физике температурным полем называют совокупность значе-ний температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого про-странства, в котором протекает процесс.

Если температура тела есть функция координат и времени, то темпера-турное поле называют нестационарным, т.е. зависящим от времени:

. (2.2)

Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопро-водности.

Если температура тела есть функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле тела называют стационарным:

. (2.3)

Уравнения двухмерного температурного поля для режима стационарно-го:

; (2.4)

нестационарного:

. (2.5)

На практике встречаются задачи, когда температура тела является функ-цией одной координаты, тогда уравнения одномерного температурного поля для режима стационарного:

; (2.6)

нестационарного:

. (2.7)

Одномерной, например, является задача о переносе теплоты в стенке, у которой длину и ширину можно считать бесконечно большой по сравнению с толщиной.

2.2 Градиент температуры

Если соединить точки тела с одинаковой температурой, то получим по-верхность равных температур, называемую изотермической. Изотермические поверхности между собой никогда не пересекаются. Они либо замыкаются на себя, либо кончаются на границах тела.

Рассмотрим две близкие изотермические поверхности с температурами T и T + T (рисунок 2.1).

Перемещаясь из какой либо точки А, можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. Если пере-мещаться по изотермической поверхности, то изменения температуры не обна-ружим. Если же перемещаться