Упругие волны

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

§ 1. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо¬образной) среды возбу-дить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распро¬страняться в среде от частицы к частице с некоторой скоро¬стью υ. Процесс распространения колебаний в пространстве на¬зывается волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле¬каются волной в поступа-тельное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В попереч¬ной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендику¬лярных к направлению распростра-нения волны. Упругие попереч¬ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей со-противле¬нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной вол-ны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час¬тицы, отстоящие друг от друга на расстояние, рав-ное ¼ υT, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совер-шаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час¬тицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из поло-жения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положе¬ния; одновременно начинает смещаться из по-ложения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица дос-тигнет крайнего верхнего положе¬ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав¬новесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь υT, достигнет частицы 5.

На рис. 1.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной вол-ны. Все рассуждения, касающиеся поведе¬ния частиц в поперечной волне, могут быть отне-сены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередую-щиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пункти-ром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско¬ростью υ.

На рис. 1.1 и 1.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблют¬ся не только частицы, расположенные вдоль оси х, а со-вокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис¬точника коле-баний, волновой процесс охватывает все новые и но¬вые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред¬ставляет собой ту поверхность, которая отде-ляет часть простран¬ства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко¬лебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую по¬верхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых по¬верхностей существует бес-конечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют со¬бой множество парал-лельных друг другу плоскостей, в сфериче¬ской волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия кото¬рых имеют одинаковую координату х (но различ-ные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

На рис.1.3 изображена кривая, которая дает смещение  из положения равновесия то-чек с различными x в некоторый мо¬мент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

λ =υT,

где υ — скорость волны, T — период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ¬ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2 (см. рис. 1.3).

Заменив в соотношении (1.1) T через 1/v (v — частота коле¬баний), получим

λv = υ.

К этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле¬бание, первый «гребень» успеет пройти путь υ. Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ.

§ 2. Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает сме¬щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

= (х, у, z, t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре¬мени t, так и относительно координат х, y, z. Перио-дичность по времени вытекает из того, что  описывает колебания час¬тицы с координатами х, у, z. Периодич¬ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя¬ние λ, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции , в случае плос¬кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп¬рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас¬пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер¬пендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверх¬ности колеблются одинако-во, смещение  будет зависеть только от х и t: = (х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид

 (х, t) = a cos (t + ).

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про¬извольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время  = x/υ (υ – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на  от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

 (х, t) = a cos [  ( t −  ) +  ] = a cos [  ( t − x/υ ) +  ].

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

 = a cos [  ( t − x/υ ) +  ]

Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны  определя-ется выбором начал отсчета х и t. При рас¬смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы  была равной нулю. При совмест¬ном рассмот-рении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив

 ( t − x/υ ) +  = const

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой пе-ремещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим

откуда

Таким образом, скорость распространения волны υ в уравнении (2.2) есть скорость переме-щения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (2.4) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распро-страняющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

 = a cos [  ( t + x/υ ) +  ]

Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продиф¬ференцировав полу-чившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный отно¬сительно х и t вид. Для этого введем величину

которая называется волновым числом. Умножив числи¬тель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно пред¬ставить волновое число в виде

(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол¬ны, распространяющейся вдоль оси х:

 = a cos ( t + kx +  )

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается