Пример: Транспортная логистика
Я ищу:
На главную  |  Добавить в избранное  

Физика /

Методы расчета электрических полей (конспект лекций)

Документ 1 | Документ 2

←предыдущая  следующая→
1 2 3 



Скачать реферат


1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Прежде чем приступить к изложению численных методов расчета электростатического поля, запишем ос-новные уравнения, устанавливающие связи между векто-ром напряженности электрического поля , вектором электрического смещения и истоками электрического поля (т.е. зарядами). Поскольку в данной работе рас-сматривается только электростатическое поле, то будем считать, что эти векторы, так же как и заряды, являются функциями пространственных координат, но не функ-циями времени. Кроме того, мы ограничимся здесь рас-смотрением системы уравнений для неподвижных сред, предполагая, что все находящиеся в них тела неподвиж-ны.

Распределение электрического поля в пространстве определяется одним из уравнений Максвелла, устанавли-вающим связь между вектором электрического смещения и истоками поля:

. (1.1)

Согласно уравнению (1.1) силовые линии вектора смещения начинаются и закачиваются на зарядах, плот-ность  которых стоит в правой части уравнения (1.1).

Уравнение (1.1) должно быть дополнено соотноше-нием между векторами поля и диэлектрической прони-цаемостью среды . Условимся в дальнейшем считать, что значения , заданные в каждой точке поля, остаются постоянными во времени, не зависят от напряженности поля, но могут быть кусочно-постоянными в пространст-ве, т.е. могут изменяться скачком при переходе из одной среды в другую, оставаясь постоянными в пределах каж-дой среды. Тела с остаточной поляризованностью, а так-же анизотропные среды, из нашего рассмотрения исклю-чаются. При этих условиях для каждого момента времени имеем

, (1.2)

где =8,85*10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Кроме того, уравнения (1.1) и (1.2) необходимо до-полнить граничными условиями для векторов и .

Так как значения параметра  могут изменяться скачком при переходе через поверхность раздела двух сред, то на этих поверхностях теряют смысл пространст-венные производные (div) в уравнении (1.1). На поверх-ностях раздела должны удовлетворятся следующие гра-ничные условия:

, (1.3)

т.е. при переходе из среды 1 в среду 2 тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля сохраняется, если плотность объемного заряда  конечна;

, (1.4)

т.е. при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная со-ставляющая вектора электрического смещения из-меняется на величину плотности поверхностного заряда  на границе раздела.

В уравнениях (1.1)(1.4) предполагается, что век-тор нормали к границе раздела направлен из 1-й среды во 2-ю.

Рассмотрим поведение электрического поля на гра-нице раздела “диэлектрик-проводник”. Такие задачи ти-пичны для расчета электрического поля, создаваемого в диэлектриках высоковольтными и заземленными метал-лическими (проводящими) частями электроэнергетиче-ского оборудования. При этом , и напряженность электрического поля во 2-й среде с большим значением диэлектрической проницаемости и проводимости (про-воднике) оказывается близкой к нулю, а весь заряд про-водящих частей конструкций оказывается распределен-ным по их поверхностям. Тогда на границе раздела двух сред тангенциальная составляющая вектора напряженно-сти электрического поля равна нулю

, (1.5)

а нормальная составляющая определяется как

, (1.6)

где  – поверхностная плотность заряда на поверхности проводника.

Электростатическое поле.

В рассматриваемых здесь условиях (электрическое поле неизменно во времени, его источники неподвижны) определенный интеграл вектора напряженности электри-ческого поля

вдоль линии, соединяющей некоторые точки A и B, не зависит от выбора пути интегрирования. Этот интеграл называется электрическим напряжением между точками A и B.

В таком случае вводится функция координат , называемая скалярным потенциалом электри-ческого поля, разность значений которой в точках A и B равна напряжению между этими точками, т.е.

,

Тогда потенциал поля можно найти как неопределенный интеграл

.

Это позволяет дать точное определение скалярного потенциала как функции, у которой взятая со знаком ми-нус частная производная по некоторому направлению равна составляющей вектора напряженности электриче-ского поля в этом направлении. Отсюда следует, что век-тор напряженности электрического поля и скалярный потенциал  связаны соотношением

. (1.7)

В таком случае, если в некотором электрическом поле известно распределение потенциала в пространст-ве, то вектор может быть определен по трем своим со-ставляющим. Так, например, в декартовых координатах, если , то

, , ,

и

.

Введение скалярного потенциала электрического поля позволяет существенно упростить расчет распреде-ления электрического поля. Как известно, дивергенция вектора выражается в общем случае через частные про-изводные всех трех его составляющих. Поэтому, если в пространстве задано распределение , то найти вектор (и в соответствии с соотношением (1.2) вектор ) непо-средственно из уравнения (1.1) можно только в простей-ших случаях, когда вектор имеет, например, только одну составляющую. В общем же случае решение становится возможным с помощью потенциала, позволяющего ис-ключить из уравнений (1.1) и (1.2) векторы и , и получить связь между потенциалом  плотностью заряда .

Исключить вектор из уравнения (1.1) можно за счет постановки выражения (1.7) в соотношение (1.2):

.

Подставляя полученное соотношение в уравнение (1.1) получаем

.

Как было сказано выше, мы ограничиваемся рас-смотрением задач, в которых среда является кусочно-однородной, т.е. состоящей из участков, с постоянной диэлектрической проницаемостью в пределах данного участка. Для каждого такого однородного участка можно вынести за знак дивергенции. Тогда

,

или

, (1.8)

где . Уравнение (1.8) называется уравне-нием Пуассона.

В подавляющем большинстве случаев электриче-ские поля создаются заряженными проводниками. В этом случае все заряды являются поверхностными, т.е. они распределены по поверхностям проводников, являющи-мися границами электрического поля. Поле существует только в диэлектрике, а внутри проводников напряжен-ность поля равна нулю (иначе в проводнике был бы ток). В этом случае плотность объемного заряда  равна нулю и после описывается уравнением Лапласа

. (1.9)

Как было отмечено выше, тангенциальная состав-ляющая напряженности электрического поля на поверх-ности проводника равна нулю (1.5). Это означает, что силовые линии перпендикулярны поверхности проводни-ка и потенциал вдоль поверхности не изменяется. Но по-тенциал не может меняться и вглубь проводника. Поэто-му в электростатическом поле для поверхности провод-ника справедливо граничное условие

, (1.10)

позволяющее говорить о постоянстве потенциала всего проводника.

Таким образом, электростатическое поле в любой области пространства, в которой диэлектрическая прони-цаемость среды  постоянна, описывается уравнением Пуассона (1.8) относительно скалярного потенциала  или эквивалентными ему уравнениями (1.1) и (1.2) отно-сительно вектора напряженности поля . Связь между  и устанавливается соотношением (1.7). На границах раздела между областями пространства с различными значениями  выполняются граничные условия (1.3) и (1.4). На поверхностях проводников выполняется условие (1.5), из которого вытекает условие эквипотенциальности поверхности проводника (1.10).

2. РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ ИЗОБРАЖЕНИЙ

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

3.1. Общая характеристика интегральных ме-тодов

Интегральные методы расчета электростатических полей развивают идею, заложенную в методе изображе-ний, в котором поля реальных проводящих тел модели-руются полями систем простейших зарядов (точечных или линейных), а значения последних находятся из усло-вия эквипотенциальности поверхности проводников.

Идея интегральных методов заключается в следую-щем. Реальные распределения заряда по поверхностям тел полеобразующей системы замещаются фиктивными распределениями по некоторым поверхностям, лежащим внутри реальных тел. Эти фиктивные распределения за-ряда определяются из условия эквипотенциальности по-верхности проводников (1.10), а также из условий нераз-рывности тангенциальной составляющей вектора напря-женности электрического поля (1.3) и нормальной со-ставляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков.

Рассмотрим суть интегральных методов на примере расчета электростатического поля проводящего тела, по-мещенного в однородную среду с диэлектрической про-ницаемостью , которое ограничено поверхностью , и к которому приложено напряжение V (рис. 3.1).

Рис. 3.1. К расчету электроста-тического поля интегральным методом.

Пусть внутри тела по поверхности распределен заряд с неизвестной плотностью . Рассчитаем

←предыдущая  следующая→
1 2 3 



Copyright © 2005—2007 «Mark5»