Физика /
←предыдущая следующая→
1 2
“Согласовано” “Утверждено”
Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________ Методист ____________________
План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 20.12.2000
Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»
Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
Канонические преобразования
Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией коор-динат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции оп-ределяется следующим образом:
(1)
Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем со-ответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по "малым" , то будем получать малое , если же по "большим" , то и получать будем соответственно .
Функция Гамильтона-Якоби
При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует вы-ражение для импульса:
(2)
Из представления полной производной действия по времени следует уравне-ние Гамильтона-Якоби:
(3)
Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби (3), находят представле-ние действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из кон-стант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
(4)
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными усло-виями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь оди-наковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.
Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (4) уравнения Г.-Я. (3) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести кано-ническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве произво-дящей функции.
Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые ко-ординаты
(5)
тоже будут константы, поскольку
(6)
Выражая из уравнения (5) координаты в виде функций от , мы и по-лучим закон движения:
(7)
Решение задачи на нахождение зависимости (7) существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:
1. составить функцию Гамильтона;
2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;
3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интегра-ла ;
4. Составить систему s уравнений , и получить закон дви-жения ;
5. По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для че-го продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.
Примеры решения задач
№11.14 [4] Как известно, замена функции Лагранжа на
, (1.1)
где – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Пока-зать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.
Решение:
Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную произ-водную функции через частные:
(1.2)
Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:
(1.3)
(1.4)
Распишем , используя представление штрихованной функции Лагранжа (1.2):
(1.5)
Подставляя формулы (1.5) и (1.2) в выражение для штрихованной функции Гамильтона (1.4), получим:
(1.6)
Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость (1.3), получим:
(1.7)
Или
(1.8)
Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:
(1.9)
Следовательно,
(1.10)
Полученное соотношение определяет условие на временную часть произво-дящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразова-нию функции Лагранжа (1.1).
Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа (1.1) не изменился, координатно-импульсная часть производя-щей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразо-ванию. Как было показано в задаче №9.32 [3] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизмен-ным гамильтонианом, имеет вид:
(1.11)
Учитывая условие (1.10) на временную часть производящей функции, оконча-тельно получим:
(1.12)
Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона (1.7) соответствующей замене функции Лагранжа (1.1).
Задача. Система, состоящая из двух шариков массами , соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины - . Произвести каноническое преобразование и запи-сать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции
.
Решение:
Составим функцию Гамильтона системы:
(2.1)
Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:
(2.2)
Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле (2.2) заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тя-жести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, про-интегрируем последнее уравнение:
(2.3)
Значение смещения пружины от положения равновесия будет определять-ся следующим образом:
(2.4)
Подставив выражения (2.3) и (2.4) в формулу (2.1), получим вид функции Га-мильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:
(2.5)
Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения.
В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описы-вала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отве-чает именно такому преобразованию.
(2.6)
Новая координата совпадает со значением смещения пружины от положе-ния равновесия.
(2.7)
Новая координата совпадает со значением положения центра масс систе-мы.
(2.8)
(2.9)
Сложив оба уравнения, получим:
(2.10)
Соответственно
, (2.11)
где
, (2.12)
– приведенная масса.
Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:
, (2.13)
где
, (2.14)
– суммарная масса системы.
Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описы-вает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая – движение систе-мы как целого в поле сил тяжести.
№9.21 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движе-ния материальной точки.
Решение:
1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:
(3.1)
2. Запишем уравнение Г.-Я.:
(3.2)
3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.
(3.3)
Используем начальное условие:
(3.4)
Тогда подставляя вид функции S (3.3) в уравнение Г.-Я. (3.2), последнее при-мет вид:
(3.5)
Откуда
(3.6)
Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:
(3.7)
4. Закон движения определяется из канонического преобразования:
(3.8)
Откуда сам закон движения:
(3.9)
5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется
←предыдущая следующая→
1 2