Виды доказательств

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЯМОЕ И КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 3

ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4

КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5

СЛЕДСТВИЯ, ПРОТИВОРЕЧАЩИЕ ФАКТАМ 7

ВНУТРЕННЕ ПРОТИВОРЕЧИВЫЕ СЛЕДСТВИЯ 7

РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 9

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11

ЛИТЕРАТУРА 12

ПРЯМОЕ И КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математику доволь¬но интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих матема¬тических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным; никто не может счесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу до¬казательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Мате¬матик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы наконец выходите из лабирин¬та и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства. Иначе его части лишатся связи, и оно в любой мо¬мент может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Как раз такого целост¬ного понимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданием в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.

Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть, предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага — это, по словам французского математика А. Пуанкаре, равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры.

Минимальное требование — это понимание логического выве¬дения как целенаправленной процедуры. Только в этом случае до¬стигается интуитивная ясность того, что мы делаем.

«Я принужден сознаться, — заметил как-то Пуанкаре, — что положи¬тельно не способен сделать без ошибки сложение. Моя память не плохая; но чтобы стать хорошим игроком в шахматы, она оказалась бы недоста¬точной. Почему же она не изменяет мне в сложных математических рас¬суждениях, в которых запутались бы большинство шахматных игроков? Это происходит, очевидно, потому, что в данном случае память моя на¬правляется общим ходом рассуждения. Математическое доказательство не есть простое сцепление умозаключений: это умозаключения, расположен¬ные в определенном порядке; и порядок, в котором расположены эти эле¬менты. Если у меня есть чувство... этого порядка, вследствие чего я сразу могу обнять всю совокупность рассуждений, мне уже нечего бояться забыть какой-либо элемент; каждый из них сам собою займет свое место...»

То, что создает, по выражению Пуанкаре, «единство доказатель¬ства», можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги, воплощающей в себе общий принцип или его итоговую структуру. Именно такая схема остается в памяти, когда забываются подробности доказательства. С точки зрения общего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам по¬лучается тезис.

Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два тре¬угольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треуголь¬ников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из таких положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех, признанных обос¬нованными утверждений, которые способны быть убедительны¬ми аргументами для доказываемого положения; установление логи¬ческой связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

Еще пример. Нужно доказать, что космические корабли под¬чиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: им подчиняются все тела в любых точ¬ках космического пространства. Очевидно также, что космичес¬кий корабль есть космическое тело. Отметив это, строим соот¬ветствующее дедуктивное умозаключение. Оно является прямым доказательством рассматриваемого утверждения.

КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии».

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы Прямо отыскивать аргументы для выве¬дения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом пока¬зывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, зна¬чит, тезис является верным.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание до¬казываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

Допустим, нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено след¬ствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое след¬ствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.

Другой пример. Врач, убеждая пациента, что тот не болен грип¬пом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.

Это опять-таки косвенное доказательство. Вместо прямого обо¬снования тезиса выдвигается антитезис, что у пациента в самом деле грипп. Из антитезиса выводятся следствия, но они опровер¬гаются объективными данными. Это говорит, что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен.

Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях, особенно в споре. При умелом применении они могут обладать осо¬бенной убедительностью.

Итак, ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем, что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать не¬состоятельность его отрицания. В зависимости от того, как реша¬ется последняя задача, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.

СЛЕДСТВИЯ, ПРОТИВОРЕЧАЩИЕ ФАКТАМ

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекаю¬щих из него следствий с фактами. Так обстояло, в частности, дело в примере с гриппом.

Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский уче¬ный Д. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испаре¬ния, важное для понимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвал скрытой.

Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а зна¬чит, и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно.

ВНУТРЕННЕ ПРОТИВОРЕЧИВЫЕ СЛЕДСТВИЯ

По логическому зако¬ну непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу ут¬верждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий ка¬кого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного и того же, можно сразу же заключить, что это положение ложно.

Например, положение «Квадрат — это окружность» ложно, по¬скольку из него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов.

Ложным будет также положение, из которого выводится внут¬ренне противоречивое высказывание или высказывание о тожде¬стве утверждения и отрицания.

Один из приемов косвенного доказательства — выведение из антитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание — тезис до¬казательства — верно.

Хорошим примером такого рассуждения служит известное до¬казательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен.

Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа - это как бы «первич¬ные элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что