←предыдущая следующая→
1 2
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ
АРХАНГЕЛЬСКИЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
К а ф е д р а т е п л о т е х н и к и
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНСЕРВАТИВНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
А Р Х А Н Г Е Л Ь С К
1 9 9 3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
О Г Л А В Л Е Н И Е
Введение ................................………………………………….......
1.Основные положения методики построения консервативно-
разностной схемы при решении неодномерных задач
стационарной теплопроводности ...........…………………...........
2. Методика подготовки и решения задачи на ЭВМ ....…………...
2.1. Постановка задачи, разработка математической
модели ...................................………………………………….....
2.2. Выбор метода численного решения .......…………………......
2.3. Разработка алгоритма и структуры .........…………………......
2.4. Написание программы и подготовка ее к
вводу в ЭВМ .....................………………………………...............
2.5. Тестирование, отладка программы и решение на ЭВМ
Литература .......................…………………………………................
В В Е Д Е Н И Е
Базовый уровень подготовки инженера-энергетика в области информатики и вычислительной техники определяется необходимым набором знаний, умений и навыков в применении ЭВМ для решения различных технических задач.
Специалисты этой категории, помимо умения использовать прикладное программное обеспечение, должны быть программирующими пользователями, т.к. их профессиональная деятельность связана с выполнением большого количества теплотехнических расчетов.
Для соблюдения принципа фундаментальности высшего образования рабо-та построена на базе рассмотрения вопросов применения ЭВМ для решения ос-новных задач теории теплообмена. К одной из таких задач относится задача, свя-занная с определением температурного поля не одномерных тел численными ме-тодами.
Рассмотрим методику подготовки и решения указанной задачи на персональ-ном компьютере.
1. О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я М Е Т О Д И К И
П О С Т Р О Е Н И Я К О Н С Е Р В А Т И В Н О-Р А З Н О С Т Н О Й С Х Е М Ы ПРИ Р Е Ш Е Н И И Н Е О Д Н О М Е Р Н Ы Х З А Д А Ч С Т А Ц И О Н А Р Н О Й Т Е П Л О П Р О В О Д Н О С Т И
Определение температурного поля в любой момент времени является основной задачей теории теплопроводности. Для изотропного тела {с постоянным по раз-личным направлениям коэффициентом теплопроводности } она может быть опи-сана дифференциальным уравнением теплопроводности
▼ T + Qv/ = 1/a*( dT/d()), (1)
где Т - температура; а - коэффициент температуропроводности, а=/(*c); - плотность материала, с - удельная теплоемкость при постоянном давлении, ▼ -обозначение оператора Лапласа {▼= d /dx + d /dy + d /dz - в декартовых координа-тах x, y, z }; - время, Qv - объемная плотность теплового потока.
Уравнение теплопроводности является математическим выражением закона со-хранения энергии в твердом теле.
При решении задачи к дифференциальному уравнению теплопроводности необ-ходимо добавить краевые условия. В описание краевых условий входят: поле тем-ператур для какого-нибудь предшествующего момента времени {начальные усло-вия}, геометрия тела {геометрические условия}, теплофизические характеристики тела {физические условия} и закон теплообмена между поверхностью тела и окру-жающей средой {граничные условия}.
Если процесс теплопроводности не только стационарный {dT/d(tay)=0}, но и происходит без тепловыделения внутри материала (Qv = 0), то уравнение принима-ет вид
▼(Т) = 0 . (2)
Ввиду сложности и трудоемкости решения неодномерных задач теплопроводно-сти аналитическими методами в инженерной практике наиболее часто используют приближенные. Один из них – метод конечных разностей, непосредственно бази-рующийся на дифференциальном уравнении теплопроводности и граничных усло-виях, представляет наибольший интерес.
В настоящее время значительное распространение получили конечно-разностные методы, построенные с использованием известных законов сохране-ния. В этом случае разностные схемы получили название консервативные. Такой подход к построению схемы, сохраняющий физическую сущность задачи, пред-почтительнее чисто аналитического подхода, заключающегося в непосредственной записи дифференциальных уравнений конечно-разностными аналогами.
Следует заметить, что теория конечно-разностных численных методов является самостоятельным разделом вычислительной математики и широко представлена в специальной литературе[1,2,]. С основными методами построения конечно-разностных схем, алгоритмами расчета, программным обеспечением применитель-но к задачам теплообмена можно ознакомиться в учебной литературе [3,4,5].
При изложении указанного метода особое внимание уделено физическому смыс-лу построения консервативной разностной схемы и ее реализации на ПЭВМ в за-дачах теплопроводности.
При использовании численного метода с консервативной разностной схемой твердое тело разбивают на элементарные объемы. Предполагается, что масса та-кого элементарного объема сосредотачивается в его центре, называемом узлом. Для каждого узла на основе закона сохранения энергии составляется уравнение теплового баланса, которое включает значения всех тепловых потоков на грани-цах объемов (ячеек). Если ячейка прилегает к поверхности тела, то выражения для определения тепловых потоков должны описывать теплообмен между телом и окружающей средой, то есть учитывать граничные условия. После выполнения преобразований с уравнениями теплового баланса получают алгебраические урав-нения для температуры в каждом узле. Поскольку число узлов и число ячеек совпа-дают, то образованная система алгебраических уравнений является конечно-разностным аналогом дифференциального уравнения теплопроводности и заме-няет его с соответствующими граничными условиями. Такой подход к составлению конечно-разностного аналога, увязанного с тепловым балансом, позволяет полу-чать правдоподобные решения даже при грубом выборе расстояния между узлами (размера ячейки сетки).
Рассмотрим некоторые конкретные примеры составления конечно-разностных схем для узлов двумерной задачи теплопроводности. В этом случае уравнение (2) принимает вид
dT/dx + dT/dy = 0 . (3)
Внутренняя область типичного двумерного тела показана на рис.1.
Рис.1. Расположение узла внутри двумерного тела толщиной б.
Каждый элементарный прямоугольник (ячейка сетки) имеет длину х и высоту у в направлениях осей х и у. Внутренний узел, обозначенный символом 0, окру-жен четырьмя соседними узлами: 1,2,3,4. Кондуктивный перенос теплоты, который в действительности происходит в твердом теле через поверхности y*б и x*б (б -толщина тела) будем считать как перенос теплоты от соответствующих узлов к центральному. В установившихся условиях уравнение баланса тепловых потоков для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения будет иметь вид
Q(1-0) + Q(2-0) + Q(3-0) + Q(4-0) = 0 , (4)
где Q(I-0) - тепловой поток; индекс (I-0) указывает направление переноса в узлах.
Для определения кондуктивного теплового потока может быть применен закон Фурье
Q = - lamda * F * dT/dn, (5)
где Т - температура, n - направление переноса теплового потока, F - поверхность, через которую переносится тепловой поток.
Для построения расчетной схемы градиент температуры в выражении (5) заме-ним разностью температур в соседних узлах. В этом случае первый член выраже-ния (4) примет вид
Q(1-0) = y*б*(T[1] - T[0])/x. (6)
Здесь градиент температуры определяется на границе двух узлов 1 и 0, имеющих температуры соответственно Т[1] и Т[0].
Аналогичные уравнения могут быть получены и для остальных трех членов уравнения (1):
Q(2-0) = x*б*(T[2] - T[0])/y, (7)
←предыдущая следующая→
1 2
|
|