Экономико-математическое моделирование /
ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции, и, наконец народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений должно быть выбрано наилучшее.
Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. И от того, как будут распределены эти, как правило, ограниченные ресурсы, будет зависеть конечный результат деятельности.
Суть методов оптимизации (оптимального программирования) заключается в том, чтобы, исходя из наличия определенных ресурсов, выбрать такой способ их использования (распределения), при котором будет обеспечен максимум или минимум интересующего показателя.
Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей).
Оптимальное программирование, таким образом, обеспечивает успешное решение целого ряда экстремальных задач производственного планирования. В области же макроэкономического анализа, прогнозирования и планирования оптимальное программирование позволяет выбрать вариант народнохозяйственного плана (программы развития), характеризующийся оптимальным соотношением потребления и сбережений (накоплений), оптимальной долей производственных капиталовложений в национальном доходе, оптимальным соотношением коэффициента роста и коэффициента рентабельности национальной экономики и т. д.
Оптимальное программирование обеспечивает получение практически ценных результатов, так как по своей природе оно вполне соответствует характеру исследуемых технико-экономических процессов и явлений. С математической и статистической точек зрения этот метод применим лишь к тем явлениям, которые выражаются положительными величинами и в своей совокупности образуют объединение взаимозависимых, но качественно различных величин. Этим условиям, как правило, отвечают величины, которыми характеризуются экономические явления. Перед исследователем экономики всегда имеется – некоторое множество разного рода положительных величин. Решая задачи оптимизации, экономист всегда имеет дело не с одной, а с несколькими взаимозависимыми величинами или факторами.
Оптимальное программирование можно применять лишь к таким задачам, при решении которых оптимальный результат достигается лишь в виде точно сформулированных целей и при вполне определенных ограничениях, обычно вытекающих из наличных средств (производственных мощностей, сырья, трудовых ресурсов и т. д.). В условия задачи обычно входит некоторая математически сформулированная система взаимозависимых факторов, ресурсы и условия, ограничивающие характер их использования.
Задача становится разрешимой при введении в нее определенных оценок как для взаимозависимых факторов, так и для ожидаемых результатов. Следовательно, оптимальность результата задачи программирования имеет относительный характер. Этот результат оптимален только с точки зрения тех критериев, которыми он оценивается, и ограничений, введенных в задачу.
Отталкиваясь от вышесказанного, для любых задач оптимального программирования характерны три следующих момента:
1) наличие системы взаимозависимых факторов;
2) строго определенный критерий оценки оптимальности;
3) точная формулировка условий, ограничивающих использование наличных ресурсов или факторов.
Из многих возможных вариантов выбирается альтернативная комбинация, отвечающая всем условиям, введенным в задачу, и обеспечивающая минимальное или максимальное значение выбранного критерия оптимальности. Решение задачи достигается применением определенной математической процедуры, которая заключается в последовательном приближении рациональных вариантов, соответствующих выбранной комбинации факторов, к единственному оптимальному плану.
Математически это может быть сведено к нахождению экстремального значения некоторой функции, то есть к задаче типа:
Найти max (min) f(x) при условии, что переменная х (точка х) пробегает некоторое заданное множество Х:
f(x) ® max (min), х I Х (4.1)
Определенная таким образом задача называется задачей оптимизации. Множество Х называется допустимым множеством данной задачи, а функция f(x) – целевой функцией.
Итак, оптимизационной является задача, которая состоит в выборе среди некоторого множества допустимых (т. е. допускаемых обстоятельствами дела) решений (Х) тех решений (х), которые в том или ином смысле можно квалифицировать как оптимальные. При этом допустимость каждого решения понимается в смысле возможности его фактического существования, а оптимальность – в смысле его целесообразности.
Очень многое зависит от того, в каком виде задается допустимое множество Х. Во многих случаях это делается с помощью системы неравенств (равенств):
q1 (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0,
q2 (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0, (4.2)
……………………………..
qm (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0,
где q1, q2, … ,qm – некоторые функции, (х1, х2, … , хn) = х – способ, которым точка х задается набором из нескольких чисел (координат), являясь точкой n-мерного арифметического пространства Rn. Соответственно множество Х есть подмножество в Rn и составляет множество точек (х1, х2, … , хn) I Rn и удовлетворяющих системе неравенств (2.2.2).
Функция f(х) становится функцией n переменных f(х1, х2, … , хn), оптимум (max или min), который требуется найти.
Понятно, что следует найти не только само значение max (min) (х1, х2, … , хn), но и точку или точки, если их больше одной, в которых это значение достигается. Такие точки называются оптимальными решениями. Множество всех оптимальных решений называют оптимальным множеством.
Задача, описанная выше, есть общая задача оптимального (математического) программирования, в основе построения которой лежат принципы оптимальности и системности. Функция f называется целевой функцией, неравенства (равенства) qi (х1, х2, … , хn) {? , = , ?} 0, i = 1, 2, … , m – ограничениями.
В большинстве случаев в число ограничений входят условия неотрицательности переменных:
х1 ? 0, х2 ? 0, … , хn ? 0,
или части переменных. Впрочем, это может быть и необязательным.
В зависимости от характера функций-ограничений и целевой функции различают разные виды математического программирования:
1. линейное программирование – функции линейны;
2. нелинейного программирования – хотя бы одна из этих функций нелинейна;
3. квадратичного программирования – f(х) является квадратичной функцией, ограничения линейны;
4. сепарабельное программирование – f(х) представляет собой сумму функций, различных для каждой переменной, условия – ограничения могут быть как линейными, так и нелинейными;
5. целочисленное (линейное или нелинейное) программирование – координаты искомой точки х являются только целыми числами;
6. выпуклое программирование – целевая функция – выпуклая, функции – ограничения – выпуклые, то есть рассматриваются выпуклые функции на выпуклых множествах и т. п.
Наиболее простым и часто встречающимся является случай, когда эти функции линейны и каждая из них имеет вид:
а1х1 + а2х2 + … аnхn + b ,
то есть имеет место задача линейного программирования. Подсчитано, что в настоящее время примерно 80-85% всех решаемых на практике задач оптимизации относятся к задачам линейного программирования.
Сочетая в себе простоту и реалистичность исходных посылок, этот метод вместе с тем обладает огромным потенциалом в области определения наилучших с точки зрения избранного критерия планов.
Линейное программирование (ЛП) – математический метод отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений («линейные» здесь означает, что на графике функции будут изображаться в виде прямых, обозначающих первые степени соответствующих величин).
3. Задача 5
На основании данных предприятия определить влияние на производительность труда одного работника факторов, связанных с изменениями в структуре численности работников предприятия при помощи метода цепных подстановок. Сделать выводы.
Показатель Ед. изм. Базисный период Отчетный период
Объем производства тыс. грн. 245290 252736
Среднесписочная численность работников чел 1240 1262
в том числе работников подразделений чел 996 994
из них: работников чел 728 725
Решение
Таблица 1
Расчет влияния факторов труда на объем производства
Показатель Ед. изм. Базисный период Отчетный период Отклонение
Всего в т.ч. за счет изменения
Численности Производительности
1. Объем производства тыс. грн. 245290 252736 7446
2. Среднесписочная численность работников чел 1240 1262 22 4351,9194
2.1. в том числе работников подразделений чел 996 994 -2 -492,5502
2.1.1.из них: работников