Экономико-математическое моделирование /
вероятностей могут быть больше 1.
Если при любых плотности вероятностей переходов не за-висят от времени t, и тогда вместо будем писать просто , то Марков-ский процесс с непрерывным временем называется однородным. Если же хо-тя бы при одной паре значений плотность вероятности перехода из-меняется с течением времени t, процесс называется неоднородным.
Вероятности состояний (неизвестные вероятностные функции) являются решением следующей системы дифференциальных урав-нений: . Система представляет со-бой систему n обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Эта система называется системой дифференциальных уравнений Колмогорова.
Составить систему Колмогорова удобно по одному из следующих пра-вил:
I. правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу состояний. Для того чтобы составить дифференци-альное уравнение Колмогорова для функции , надо в левой части этого уравнения записать производную функции , а в правой части уравнения – произведение - суммы плотностей вероятностей переходов у стрелок, выходящих из состояния Si, на вероятность этого состояния со знаком минус, плюс сумму произведений плотностей вероятностей переходов , соответствующих стрелкам, входящим в состояние Si, на вероятности состояний , из которых эти стрелки выходят. При этом плотности вероятностей переходов , соответствующие отсутствующим стрелкам на графе, равны 0.
II. Правило составления дифференциальных уравнений Колмогоро-ва по матрице плотностей вероятностей переходов. Для составления диффе-ренциального уравнения Колмогорова для функции надо в левой части уравнения записать производную функции , а в правой части уравнения – произведение - суммы элементов i-ой строки матрицы плотностей вероятностей на вероятность состояния Si (номер которой совпадает с номером взятой строки) со знаком минус, плюс сумму произведений элементов i-ого столбца на соответствую-щие им вероятности . Система дифференциальных уравнений Колмого-рова составленная, например, по матрице плотностей вероятностей перехо-дов имеет следующий вид: .
Итак, составлять систему дифференциальных уравнений Колмогорова можно либо по размеченному графу состояний, либо по матрице плотностей вероятностей переходов. [4]
Пуассоновский стационарный (простейший) поток событий.
При изучении дискретных случайных процессов с непрерывным време-нем в экономической практике полезным оказывается рассмотрение так на-зываемых «потоков событий». Потоком событий называется последователь-ность событий, наступающих одно за другим в какие-то, вообще говоря, слу-чайные моменты времени.
События в потоке называются однородными, если их различают только по моментам их наступления, и неоднородными – в противном случае, то есть если различимость событий в потоке помимо моментов их наступления осуществляется еще по каким-нибудь их свойствам.
Поток называется регулярным, если события в нем наступают последо-вательно через строго определенные промежутки времени.
Поток называется потоком без последствия (или потоком без памяти), если для любой пары непересекающихся промежутков времени число собы-тий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступаю-щих за другой.
Поток событий называется ординарным, если вероятность наступления за элементарный (малый) промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени не более одного события. Ординарность потока означает, что собы-тия в нем за достаточно малый промежуток времени либо не наступили, либо наступают по одному, а не по несколько.
Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стацио-нарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, то есть не изменяются с течением времени.
Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последствий и ор-динарности, называется пуассоновским. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим. Среднее число событий потока наступающих в еди-ницу времени, называется интенсивностью или средней плотностью потока. Интенсивность простейшего потока не изменяется с течением времени .[4]
Одной из важных характеристик потока является дискретная случайная величина , представляющая собой число событий, наступающих за про-межуток времени . Пусть - вероятность того, что за промежуток вре-мени в потоке наступят точно m событий: , его математическое ожидание и дисперсия равны , а среднее квадратическое отклонение равно .
Другой важной характеристикой является непрерывная случайная вели-чина T - промежуток времени между двумя любыми соседними событиями потока. Аналитические выражения основных характеристик случайной вели-чины T даются в следующей теореме. В простейшем потоке с интенсивно-стью для случайной величины T:
1) Интегральная функция распределения , то есть веро-ятность события , состоящего в том, что промежуток времени T между двумя любыми соседними событиями будет меньше t, равна .
2) Дифференциальная функция распределения (или плотность распреде-ления) равна .
3) Математическое ожидание равно .
4) Дисперсия .
5) Среднее квадратическое отклонение .[1]
Экономическое применение.
Современные финансово – банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во вре-мени, например погашение задолженности в рассрочку, периодическое по-ступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии. Такого рода последова-тельность, или ряд платежей, называют потоком платежей.
Поток платежей все члены которого – положительные величины, а вре-менные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рен-той, или просто рентой. Так, например рентой является последовательность получения процентов по облигациям, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий. Иногда подобного рода платежи на-зывают аннуитетом, что, строго говоря, применительно только к ежегодным выплатам.
Обобщающие поток платежей характеристики, особенно интервал меж-ду двумя соседними платежами и вероятности выплаты платежа, широко применяются в различных финансовых расчетах. Так без них, например, не-возможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить сравнение или безубыточное изменение условий контрактов, решать многие другие практи-ческие проблемы. [5]
Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда банка, занимающегося выдачей долгосрочных ссуд, важно обладать информацией о процессе поступления в банк выплат по займам.
Наблюдение за банком в предшествующем периоде показало, что число поступающих в банк выплат за любой промежуток времени длинной не за-висит от момента времени с которого начался отсчет промежутка времени , а зависит только от его продолжительности. Ожидаемое число выплат в банк за неделю равно 2. исследуем какова вероятность поступления в банк за ме-сяц 7 выплат и найдем вероятность того, что интервал времени между двумя соседними выплатами меньше 2 дней.
Обозначим поток выплат по займам через :
1. месяц = 4 недели и , тогда
2. вероятность [4]
Для современной российской экономики весьма актуальна проблематика математического моделирования как дисциплины, ориентированной на про-ектирование, внедрение и сопровождение финансовых инноваций: новых финансовых стратегий, инструментов и процессов. Это объясняется резкой трансформацией хозяйственного уклада России и острой потребностью в но-вых финансовых технологиях. Так, применяя математический аппарат иссле-дования операций, разработана технология управления портфелем ценных бумаг в динамике в предположении, что изменение цен на бумаги от сессии к сессии описывается в виде Марковского процесса с дискретным временем и заданной глубиной памяти, при использовании локально-оптимальных стра-тегий; реализация стратегии за год практических расчетов на примере госу-дарственных краткосрочных облигаций (ГКО) обеспечила доходность в среднем 14% в месяц за год при 8.44% в месяц у портфеля в среднем по рын-ку. Управление инвестиционным портфелем является типичной задачей ис-следования операций. В ней присутствуют все атрибуты канонической по-становки:
• цель операции носит многокритериальный характер (ожидаемый выиг-рыш, риск, ликвидность и т.п.);
• процесс развивается в динамике;
• цены - неопределенный фактор;
• инвестор - оперирующая сторона;
• аналитик - исследователь операции;
• трейдер - исполнительное лицо оперирующей стороны;
• внешняя среда - другие участники торгов;
• инфраструктура рынка (общие экономические и институциональные ограничения, структура биржи и т.д.). В последующем изложении приняты следующие основные допущения:
• динамика цен на обращаемые бумаги рассматривается как случайный марковский процесс с дискретным временем;
• исходная задача формулируется в классе однокритериальных задач: критерий - математическое ожидание дохода. Проблема ликвидности не но-сит ограничительного характера. Динамика цен такова, что игрокам не грозит разорение, и риски, связанные с выбором управления, на каждом отдельном шаге компенсируются длительностью периода управления;