Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

Кыргызский Государственный Национальный Университет

Курсовая работа

по предмету: “Моделирование”

Тема: Применение новейших экономико-математических методов для решения задач.

Группа: КИС-2-97

Выполнил: Рогачёв Максим

Проверил: проф. Бабак В.Ф.

Бишкек – 2000

Содержание

Предисловие 3

Глава№1. Подбор параметра... 4

1.1 Нелинейные алгебраические уравнения 4

Задание #1 4

1.2 Системы двух нелинейных алгебраических уравнений. 6

Задание #2 6

Глава №2 Матричная алгебра 7

2.1 Сложение матриц 7

Задание #3 7

2.2 Транспонирование матрицы 8

2.4 Вычисление обратной матрицы 9

Задание #4 9

2.4 Умножение матриц 10

2.5 Умножение матрицы на число 11

2.6 Сложение матриц 11

2.7 Вычисление определителя матрицы 12

2.8 Системы линейных алгебраических уравнений 13

Задание #5 13

Глава №3 Поиск решения… 14

3.1 Оптимизация 14

3.2 Условный экстремум 15

Задание №6 15

3.3 Математическое программирование 16

3.3.1 Линейное программирование 17

Задание #7 17

Задание #8 18

Задание #9 19

3.5 Системы нелинейных алгебраических уравнений 20

Задание #12 20

Список литературы 23

Предисловие

В данной курсовой работе, целью которой является изучить и научиться пользоваться важной составной частью MS Excel, такой как Вставка формул, Подбор параметра, Поиск решения, все эти функции MS Excel облегчают задачу математикам, бухгалтерам и специалистам в различных областях. Так же мы более глубже знакомимся со стандартными функциями MS Excel. Курсовая работа написана и структурирована таким образом, чтобы её можно было использовать в качестве методического пособия для изучения некоторых функций MS Excel. В работе показан каждый шаг по выполнению каждой из функций, который так же иллюстрируется примером, который наглядно показывает решение определенных задач.

Специалист для которого MS Excel является именно тем средством которое позволяет облегчить и ускорить его работу, должен знать и уметь использовать в повседневной работе новейшие экономико-математические методы и модели, предлагаемые новыми прикладными программами.

Традиционный способ изучения экономико-математических методов заключается не только в определении их назначения и сути, но и в освоении техники реализации, причем, чтобы сделать доступной «ручную» реализацию, объем обрабатываемых данных приходится максимально сокращать, что , с одной стороны, часто удаляет построенную модель от реальной жизни, а с другой – снижает эффективность применения изучаемых методов.

Использование компьютерных технологий освобождает от рутинной вычислительной работы по реализации математических методов и позволяет сконцентрировать внимание не на алгоритме вычисления, а непосредственно на анализе результатов моделирования, что заметно повышает «коэффициент полезного действия» затраченного времени. Совершенно очевидно, что эффективность изучения предмета становится существенно выше, если есть возможность быстро «проиграть» варианты моделей, изменить их параметры, сравнить в числовой и графической форме результаты исследований.

Итак мы вступаем в этап, когда стоящие перед нами проблемы невозможно решить без

применения компьютера. Я не испытываю страха перед компьютером. Меня страшит их отсутствие.

Глава№1. Подбор параметра...

1.1 Нелинейные алгебраические уравнения

Задание #1

При моделировании экономических ситуаций часто приходится решать уравнения вида:

f(x,p1,p2,…,pn)=0 (1)

где f - заданная функция, x- неизвестная переменная, p1,p2,…,pn - параметры модели.

Решение таких уравнений может быть как самостоятельной задачей, так и частью более сложных задач. Как правило, исследователя интересует поведение решения в зависимости от параметров pk , k=1,n.

Решениями или корнями уравнения (1) называют такие значения переменной x, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Только для линейных или простейших нелинейных уравнений удается найти решение в аналитической форме, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину x в явном виде через параметры.

В большинстве же случаев приходится решать уравнение (1) численными методами, в которых процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близко к точному.

Рассмотрим последовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы.

Пусть надо решить уравнение вида:

(2)

Сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис.1 .

рис.1.

Уравнение (2) запишем в клетку С5, начиная со знака равенства, а вместо переменной x укажем адрес клетки В5, которая содержит значение начального приближения решения.

Метод, применяемый в EXCEL для решения таких уравнений – модифицированный конечными разностями метод Ньютона, который позволяет не сильно заботиться о начальном приближении, как этого требуют другие численные методы решения уравнений. Единственно, что следует учесть – это то, что будет найдено решение ближайшее к выбранному начальному приближению.

Для получения решения уравнения (2) надо выполнить следующую последовательность действий:

1. Выполнить команду Сервис/Подбор параметра… (получим лист электронной таблицы, как показано на рис.2)

2. Заполнить диалоговое окно Подбор параметра…:

2.1 Кликнуть левой клавишей мыши в поле Установить в ячейке, после появления в нем курсора, переместить указатель мыши и кликнуть на клетке с формулой, в нашем случае это клетка С5, абсолютный адрес которой $C$5 появится в поле;

2.2 В поле Значение: ввести значение правой части уравнения (2), в нашем случае это значение равно1.

рис.2.

2.3 В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес клетки где задано начальное приближение решения, в нашем случае это клетка В5.

После выполнения пунктов 1-2 страница электронной таблицы будет выглядеть так, как показано на рис.3.

рис.3.

После нажатия на кнопке ОК появится окно Результат Подбора Параметра, в котором дается информация о том, найдено ли решение, чему равно и какова точность полученного решения. Для нашего примера Результат Подбора Параметра показан на рис.4. При значении аргумента 126,8856472 функция, стоящая в левой части уравнения (2) равна 0,999007196. Достигнутая точность удовлетворяет.

рис.4.

Если полученные значения следует отразить на листе электронной таблицы, то надо кликнуть на кнопке ОК, если же нет – то на кнопку Отмена. В первом случае найденные значения зафиксируются в клетках В5 и С5.

Численные методы решения хороши тем, что можно получить приближенное решение с заданной точностью. EXCEL имеет возможность управлять выбором точности. Для этого надо выполнить команду Сервис/Параметры/Вычисления и в соответствующих полях установить значения относительной погрешности и количества итераций(рис.5.).

рис.5.

1.2 Системы двух нелинейных алгебраических уравнений.

Задание #2

Вышеизложенный способ получения решения уравнения может быть легко распространен для случая решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, если система имеет следующий вид:

Y=Ф(x)

Y=Ψ(x) (3)

Преобразуем систему (3) в одно уравнение вида (4):

Ф(x)- Ψ(x)=0 (4)

Полученное уравнение уже можно решить с помощью Подбор параметра… так как это было описано выше.

Рассмотрим нахождение равновесной цены и объема продаж для рынка некоторого товара.

Пусть функция спроса на товар имеет вид Qd=80e-0.05p-20, 0≤p≤30, а функция предложения Qs=12p-3e0.02p, 0≤p≤30.

Найти равновесные цену и объем, построить графики спроса и предложения. Имеющуюся систему уравнений

Qd=80e-0.05p-20

Qs=12p-3e0.02p

преобразуем в одно уравнение вида 80e-0.05p-20 - 12p+3e0.02p=0.

Подбор параметра… описанным выше, находим равновесную цену, она равна 4,049213, подставив это значение в одно из уравнений системы. Получим и значение равновесного объема - 45,33749 . Для построения графика, иллюстрирующего ситуацию равновесия спроса и предложения на рынке, воспользуемся знанием равновесной цены и возьмем значения в некоторой окрестности от нее. Получим следующую иллюстрацию решения задачи о равновесии на рынке (рис.6.).

рис.6.

Глава №2 Матричная алгебра

Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями, в связи, с чем