Экономико-математическое моделирование /
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
Кафедра прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Прикладная математика»
Выполнила Нагнибеда В.Е.
Институт ИНиМЭ
Специальность мировая экономика
Курс II
Группа 4
Руководитель Супоницкий В.Л
Дата сдачи на проверку..............................
Дата защиты ..............................
Оценка ..............................
Подпись руководителя ..............................
Москва - 2006
Оглавление
Линейная производственная задача 2
Двойственная задача 10
Задача о «расшивке узких мест производства» 12
Анализ доходности и риска финансовых операций 14
Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений. 17
Транспортная задача линейного программирования 19
Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества 23
Литература 26
ДАННЫЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Вариант № 14
Линейная производственная задача
Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.
В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:
С1 С2 С3 С4 27 39 18 20
a11 a12 a13 a14 B1 2 1 6 5 140
a21 a22 a23 a24 B2 0 3 0 4 90
a31 a32 a33 a34 B3 3 2 4 0 198
2 1 6 5 140
А= 0 3 0 4 В = 90 С= 27, 39, 18, 20 (1)
3 2 4 0 198
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.
Математическая модель задачи:
Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4),
максимизирующую прибыль z=27x1+39x2+18x3+20х4 (2)
при ограничениях по ресурсам
2x1 + x2 + 6x3 + 5x4 140
3x2 + 4x4 90 , (3)
3x1 +2x2 +4x3 198
где по смыслу задачи
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 . (4)
(2)-(4)- математическая модель линейной производственной задачи:
(2) - целевая функция;
(3) - линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);
(4) - условие не отрицательности задачи.
Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
2x1 + x2 + 6x3 + 5x4 + x5 = 140
3x2 + 4x4 + x6 = 90 , (5)
3x1+ 2x2 + 4x3 + x7 = 198
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.
х5 - остаток 1-го ресурса;
х6 - остаток 2-го ресурса;
х7 - остаток 3-го ресурса.
Среди всех решений системы уравнений (5), удовлетворяющих условию неотрицательности
xi 0 , i=1...7 , (6)
надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение
х1= 0, х2= 0, х3= 0, х4 = 0, х5= 140, х6= 90, х7= 198 (7)
по которой мы пока ничего не производим.
Из выражения (2) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию второго вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы (5) общее решение
х5= 140 - 2x1 - x2 - 6x3 - 5x4
х6= 90 - 3x2 - 4x4 (8)
х7= 198 - 3x1 -2x2 - 4x3
Мы пока сохраняем в общем уравнении x1= x3 = x4 = 0 и увеличиваем только x2. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств
140 - x2 ≥ 0 x2 ≤ 140
90 -3x2 ≥ 0 или x2 ≤ 30 , т.е. 0 ≤ x2 ≤ 30
198 -2x2 ≥ 0 x2 ≤ 99
Дадим x2 наибольшее значение x2 = 30, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (8). Получаем для системы уравнений (5) частное неотрицательное решение
х5= 140 - 2x1 - 30 - 6x3 - 5x4
х6= 90 - 90 - 4x4
х7= 198 - 3x1 – 60 - 4x3
х1= 0, х2= 30, х3= 0, х4 = 0, х5= 110, х6= 0, х7= 138 (9)
Нетрудно убедиться, что это решение является базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (5), для получения которого достаточно было принять в системе (5) неизвестную х2 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, так как
min = min (140; 30; 99) = 30,
а разрешающим элементом a22=3. Применив известные формулы исключения, получаем для системы (5) новый предпочитаемый эквивалент
2x1 + 6x3 + x4 + х5 + х6 = 110
х2 + x4 + х6 = 30 (10)
3 х1 + 4x3 - x4 - х6 + х7 = 138
Приравняв к нулю свободные переменные х1, х3, х4, х6, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (9), причем первые четыре компонента его определяют новую производственную программу
х1= 0, х2= 30, х3= 0, х4 = 0. (11)
исследуем, является ли это программа наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого выразим функцию прибыли (2) через новые свободные переменные х1, х3, х4, х6.
Из второго уравнения системы (10) выражаем базисную переменную х2 через свободные и подставляем в (2). Получаем
z=27x1+39(30 - x4 - х6) +18x3+20х4
z=1170 + 27 x1+18x3 - 32х4 - 13х6 (12)
Видим, что программа (12) не является наилучшей, так как прибыль будет расти, если мы начнем производить третью продукцию, но наиболее быстро функция z растет при возрастании x1. Поэтому принимаем x1 в системе (10) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по
min( ; ; )=min(55; -; 46)= 46 (13)
и исключаем x1 из всех уравнений системы (10), кроме третьего. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (5) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (12) через свободные переменные, удалив оттуда переменную x1, ставшую базисной.
Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (2) в виде уравнения
- 27x1 - 39x2 - 18x3 - 20х4 =0 - z (14)
и припишем его к системе (5). Получается вспомогательная система уравнений
2x1 + x2 + 6x3 + 5x4 + x5 = 140
3x2 + 4x4 + x6 = 90 (15)
3x1+ 2x2 + 4x3 + x7 = 198
- 27x1 - 39x2 - 18x3 - 20х4 =0 - z
Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (5) мы брали x2. Этой переменной в последнем уравнении системы (15) отвечает наименьший отрицательный коэффициент 4= - 39. Затем мы нашли разрешающий элемент a22=3 и исключили неизвестную x2 из всех уравнений системы (5), кроме второго. Далее нам пришлось x2 исключать из функции (2). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (15). Очевидно, достаточно умножить второе уравнение на 13 и прибавить к четвертому; получим
-27 x1 - 18x3 + 32х4 + 13х6= 1170 – z
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5