Экономико-математическое моделирование /
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Лабораторная работа № 4
«Исследование систем управления моделированием»
Выполнил:
Проверил:
Алексеев С.И.
Москва, 2005
Цель работы: ознакомление с производственными функциями и методом наименьших квадратов.
Методы работы: линейная функция, квадратичная функция, экспонента.
Содержание работы:
1. Для заданных значений производственной функции найдем наилучшую линейную модель .
Таблица 1 Исходные данные
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y(i) 5 10 20 50 60 80 100 130 170 250
Составим матрицу плана
х1 1
x2 1
хn 1
Х п =
Найдем определитель
Хi = y + Ei
Xi = kx i+ b + Ei
( Ei2/n)1/2 min
F (k,b) = (yi – yi mod)2= (yi – kxi –b)2
DF/DK=0 DF/DK= 2(yi-kxi-b)*(-xi)=0
DF/DB=0 DF/DB= 2(yi-kxi-b)*(-1)=0
- xiyi + k xi2 + b xi =0
yi – k xi – b 1 =0
k xi2+b xi = xiyi
k xi +b 1= yi
A = xi2 xi
xi 1
B = xiyi вектор наблюдений
yi
x= k
b
^
k = (xT * x)-1 * xT * y
^
b
(xT * x) = xi2 xi
xi 1
k = k/
b = b/
Подставим в формулы табличные значения.
Табл. Результатов
k b se
24,51515
-47,3333 25,44751
2. Для заданных значений производственной функции найдем наилучшую квадратичную модель . Определим остаточную сумму квадратов se между найденной моделью и исходными значениями.
Матрица плана
Х12 х1 1
Хпл= х22 х2 1
Хn2 xn 1
Xi= axi2+bxi+c+Ei
( Ei2/n)1/2 min
F(a,b,c) = (yi- axi2- bxi-c)2
DF/DA=0 Df/DA= (yi- axi2- bxi-c)*(-xi2)=0
DF/DB=0 DF/DB=( yi- axi2- bxi-c)*(-xi)=0
DF/DC=0 DF/DC=( yi- axi2- bxi-c)*(-1)=0
-yixi2+axi4+bxi3+cxi2=0
-yixi+axi3+bxi2+cxi=0
-yi+axi2+bxi+c1=0
xi4 xi3 xi2 xi2 yi
A= xi3 xi2 xi B= xiyi
xi2 xi 1 yi
a
x= b
c
a=a/
b=b/
c=c/
Подставим табличные значения.
Таблица 4 Результаты
a b c se
0,393262
3,290903 0,0059 90,32221
Вывод: Сравнивая две модели, линейный и квадратичный графики, видно, что линейная модель лучше, у нее меньше остаточная сумма квадратов.
|
|